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数学经典问题·连续统之迷
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已经搜索，无重复/ （注：文中将阿拉夫零记为alf(0)，阿拉夫一记为alf(1)，依次类推…） 由于alf(0)是无穷基数，阿拉夫是有异于有限运算的神奇运算，因而，以下的结果 也不足为怪： alf(0)+ 1 = alf(0) alf(0) + n = alf(0) alf(0) + alf(0) = alf(0) alf(0) X n = alf(0) alf(0) X alf(0) = alf(0) alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数，只要是可数集，其基数必为alf(0)。由 可排序性，可知如整数集、有理数集的基数为alf(0)；或由它们的基数为alf(0)， 得它们为可数集。而实数集不可数（可由康托粉尘线反证不可数）推之存在比 alf(0) 更大的基数。乘法运算无法突破alf(0),但幂集可突破：２alf(0) = alf(1) 可以证明实数集的基数card(Ｒ) = alf(1)。进而，阿拉夫"家族"一发而不可收： ２alf(1) = alf(2); ２alf(2) = alf(3); …… alf(2)究竟有何意义？人们冥思苦想，得出：空间所有曲线的数目。但而后的 alf(3)，人类绞尽脑汁，至今为能道出眉目来。此外，还有一个令人困惑的连续统 之迷："alf(0)与alf(1)之间是否还存在另一个基数？" 公元１８７８年，康托提出了这样的猜想：在alf(0)与alf(1)之间不存在其它的基 数。但当时康托本人对此无法予以证实。 公元１９００年，在巴黎召开的第二次国际数学家会议上，德国哥庭根大学教授希 尔伯特提出了举世闻名的２３个二十世纪须攻克的数学问题中，连续统假设显赫的 排在第一个。然而这个问题的最终结果却是完全出人意料的。 公元１９３８年，奥地利数学家哥德尔证明了"连续统假设决不会引出矛盾"，意味 着人类根本不可能找出连续统假设有什么错误。１９６３年，美国数学家柯亨居然 证明了："连续统假设是独立的"，也就是说连续统假设根本不可能被证明。 |
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基数是“集合中元素多少”的一种量度。 在公理集合论中，先定义集合的一些基本运算，通过这些运算，从空集出发，先得到序数的概念，然后把具有某些特性序数定义为基数。 但为了浅显起见，我们直截了当的说：如果两个集合之间可以建立一一对应（一个元素对应一个元素，不同元素对应不同元素，每个元素必有与之对应的元素），则称这两个集合具有相同的基数，或者简称等势。 经验告诉我们，两个有限集合之间可以建立一一对应，当且仅当它们具有相同的元素个数。譬如一个电影院里有2000个座位，如果进入的观众恰好也是2000个，则可以做到每个观众一个座位，没有空着的座位，也没有站着的观众。但如果观众只来了1999个，那么不论怎样安排座位，至少有一个座位空着。或者反过来，来了2001个观众，那么不管怎样安排座位，至少有一个观众没有座位，要站着。 这件事，是可以从数学角度严格予以证明的。也就是——设A，B是两个有限集合，A由m个元素组成，B由n个元素组成。则A与B之间存在一一对应的充分且必要条件是m=n。 （未完待续） |
2楼2005-12-16 20:51:28
