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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 复数矩阵的-1/2次方计算
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【悬赏金币】回答本帖问题，作者fo3mt2将赠送您 10 个金币

fo3mt2

金虫 (小有名气)

[求助] 复数矩阵的-1/2次方计算已有1人参与

大家好，

我想向大家请教一个问题。

A是一个n乘n的复数矩阵，如何计算A的负二分之一次方（-1/2）呢？

我看到网上有这样的计算流程。
1.对角化复数矩阵A，得到矩阵A的特征值
2.计算每个特征值的-1/2次方
3.用特征值的-1/2次方组成对角矩阵（非对角线上的元素全是零，对角线上的元素是每个特征值的-1/2次方），这个对角矩阵就是复数矩阵A的负二分之一次方（-1/2）

请问这种计算方法是否正确呢？

如果不对，麻烦大家给些建议，要如何正确计算一个复数矩阵A的-1/2次方吧。

谢谢啦。
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1楼2022-08-15 03:47:22
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lq8989

铁杆木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个方法思路是对的，结果不完全对。我猜测楼主是想计算一个矩阵B满足 (B B) = A^-1。如果A可逆且可对角化，也就是 A = P^{-1} D P（特征分解），其中D为一对角矩阵，对角元为A的特征值且非零，则可以构造B = P^{-1} d P，其中d的对角元是D的对角元的平方根的倒数。由于楼主的矩阵A是在复数域定义的，d的每个对角元都有一到两个可取值，因此可以构造出最多2^n个B。
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2楼2022-08-15 09:29:40
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fo3mt2

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by lq8989 at 2022-08-15 09:29:40
这个方法思路是对的，结果不完全对。我猜测楼主是想计算一个矩阵B满足 (B B) = A^-1。如果A可逆且可对角化，也就是 A = P^{-1} D P（特征分解），其中D为一对角矩阵，对角元为A的特征值且非零，则可以构造B = P^{-1 ...

谢谢你的回复。

我想计算的是一个矩阵B，满足B=A^(-1/2)。若A可逆且可对角化，并且若d的每个对角元也只有一个值的话，你在回复里提到的B=P^{-1}dP，是否就是我想要计算的这个矩阵B呢？

谢谢。
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3楼2022-08-15 17:07:48
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lq8989

铁杆木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

具体要看你如何定义B=A^(-1/2)。就像正实数有正负两个实数平方根一样，满足B^2 = A^(-1)的B矩阵可以多达2^n个。如果不在意特征值的取值，那用这个方法构造出的任意一个都满足B^2 = A^(-1)。如果对特征值有要求，比如假设A是半正定的（也就是特征值全部非负），你也可以要求B半正定，也就是d的对角元全部取D的算术平方根（非负平方根）；如果A是非正定的（也就是特征值有负数或复数），你也可以选择d的对角元全部取D的复平方根主值。
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4楼2022-08-16 15:01:58
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flankway

新虫 (初入文坛)
只能是半正定矩阵才可以开平方。你这个问题，我们分解一下，先开平方，然后求逆。如果能开平方，还能求逆，那么这个矩阵一定是正定矩阵。正定矩阵可以对角化，即可以存在酉矩阵，在有等价意义下变成一个对角矩阵，其中特征值都大于零，可以开平方。然后你把那个酉矩阵带上，就是原矩阵的平方根。平方根求完了，你再求它的逆矩阵。

总的来说，正定矩阵就像是正数，半正定矩阵就是大于等于零的数，他们和数的性质有点像。负数是不能开平方的，同样的，特征值有负的，也不能开平法。
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加油!
5楼2022-09-08 23:42:00
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