[交流] 博弈论几道题，请帮忙做下

4.  两名囚犯，Alice和Beth，在连续的两个时期同时决定是否坦白（C）或否认（D），每个时期每名囚犯获益情况如下面的矩阵所示。
                   Beth
                 C       D
       C     (1,1)    (3,0)
Alice
       D     (0,3)    (2,2)
每名囚犯的总收益是指他在两个时期的收益之和。
a.  假设当某位囚犯在第二个时期决定是否坦白或者否认时，没有任何一名囚犯可以看到她的第一个时期的收益。
一）这场博弈的标准形式是什么？
二）哪些策略组合是纯策略纳什均衡？
三）重复剔除严格劣策略之后还存在哪些策略组合？
b.  现在，假设当某位囚犯在第二个时期决定是否坦白或否认时，每个囚犯都可以获知她第一个时期的回报。
一）哪些策略组合是子博弈完美均衡？
二）这场博弈中的纳什均衡是否有不是子博弈完美均衡的？（最好列出来）

5.  Arthur和Bruce进行下面正则形式的博弈：
                  Beth
                     C       D     D
            C     (1,1)    (3,0)   (1,1)
Arthur   D     (1,1)    (3,3)   (0,0)
            E     (0,3)    (2,2)    (x,x)
a.  找出当x=0时的所有纳什均衡（包括纯策略和混合策略的纳什均衡）
b.  不论x=0还是x=4，哪些策略组合符合纳什均衡？
c.  重复剔除弱劣策略后还存在的这一系列策略组合是如何随着x的变化而变化的？

7.  思考下述情况。某个人的效用函数是 ，这里的w是指财富。假设其原始财富是￥18，这个人可能遭受的损失就是￥18。现在有两类人，任何一个人都有低风险损失，而且在这种情况下，损失发生的概率是1 / 2。每个人都知道风险损失的高低。两个公司同时提供保险合同给某个人，那个人既可能接受也可能拒绝他们。公司的期望利润最大化，而这个人的其期望效用也最大化。
a.  假设公司是知道这些人的类型的，那么请为这两种类型的人分别构建一个合同，使其在这场博弈的子博弈完美均衡中提供出去时能被接受。
b.  假设公司是不知道这些人的类型的，但是知道每个人发生低风险损失和高风险损失的概率一样，那么请为这两种类型的人给出两个合同，使其在这场博弈的子博弈完美均衡中提供出去时能被接受。
c.  现在假设b中的两个公司合并成一个公司形成垄断。这个垄断公司并不知道这些人的类型，于是仍然使期望利润最大化。根据b中的参数，解释这个垄断公司应该如何构建两份最佳的合同。不必给出合同的精确数值。

8.  思考下述机制设计问题。一个公司想要分包其IT服务给一个专门的供应商，这些服务的价值为4。供应商要么以低成本cl=2提供这些服务的概率是1/3，要么以高成本 提供这些服务的概率是2/3。供应商知道这些服务的成本但是公司却只知道其概率分布。这个公司提出了一种服务分包机制。该公司要求供应商报告其成本，而分包机制中则规定了合同签订的概率q和合同转让的费用p。供应商可以接受或者拒绝由公司支付给供应商的转让合同费用p，这两种情况均依赖于报告。供应商也可以接受或者拒绝这个分包机制。如果供应商接受，则该机制发挥作用。如果合同签订则公司支付给供应商的费用是p-c，反之则为0。公司和供应商的期望收益均为最大化。
a.  算出最佳机制下的预期转让费用，并算出公司的预期收益。
b.  如果供应商以低成本cl=2提供服务的概率是2/3，而以高成本 提供服务的概率是1/3时，你的答案应该如何变化？
c.  现在假设有两个候选服务供应商，其中每一个供应商提供服务的情况都是，低成本cl=2时概率是1/3，高成本 时概率是2/3。请解释应该如何在这个事件中寻找到最佳分包机制（不必算出该最佳机制的精确数值）。公司可以设定一个比a中更高的预期收益吗？请阐述。