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[求助]
求助积分不等式的证明
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积分不等式的证明，哪位大神帮忙啊，多谢！！ %DFK2D`@F}Z`B(CNN[7W[B5.png |
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qlf2007
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【答案】应助回帖
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Edstrayer: 金币+50 2019-09-02 04:40:14
Edstrayer: 金币+50 2019-09-02 04:40:14
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这道题是一个著名结论，叫Cantelli不等式 题目条件实质上就是说，f(x)是一个定义在[-a, a]上的概率分布，平均值为0，方差为1 而结论就是 P(x <= u) <= 1/(u^2 + 1) Wikipedia上有完整证明 https://en.wikipedia.org/wiki/Cantelli%27s_inequality |
10楼2019-08-25 20:10:13
qlf2007
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较瘦(Edstrayer代发): 金币+15, thank 2019-09-01 03:09:28
较瘦(Edstrayer代发): 金币+15, thank 2019-09-01 03:09:28
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哦，国内打不开Wikipedia 这里写不了数学公式，我写一下思想 证明这个定理要先证明Markov不等式： 若一个非负随机变量X的均值为t，则对任意a > 0有 P(X >= a) <= t/a 证明： 注意均值的定义（对x * f(x)积分），将积分拆成从0到a和从a到无穷大两段 将后一段的x * f(x)放缩为a * f(x) 得t >= a * P(x >= a)，即P(x >= a) <= t/a 回到题目，该题要求的结论是 P(x <= u) <= 1/(u^2 + 1) 首先引入一个辅助变量c，得到 P(x <= u) = P(x + c <= u + c) <= P((x + c)^2 <= (u + c)^2) (x + c)^2是一个非负随机变量，均值为c^2 + 1，应用Markov不等式得 P(x <= u) <= (c^2 + 1) / (u + c)^2 现在取合适的c值，使右侧取得最小值，易知最小值为1/(u^2 + 1) |
14楼2019-09-01 01:45:06
qlf2007
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16楼2019-09-01 19:12:16
