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luoqian123

金虫 (小有名气)

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[求助] 证明多项式方程组的解的存在性

在做数值的时候碰到一个问题，想请教一下各位大神。

我有下面这样一个多项式方程组

$a_i(1-\sum\limits_{z=1}^N(x_z\theta_z))=x_i(1-\theta_i)$

$b_i(1-\sum\limits_{z=1}^N(y_z\phi_z))=y_i(1-\phi_i)}$

其中
$\theta_i=q^u(\sum\limits_{k=i+1}^N(y_k q_{ik})+\sum\limits_{k=1}^i y_k)$ 以及 $\phi_i=q^u(\sum\limits_{k=1}^{i-1}x_kq_{ik})$ ， $i=1,2,...,N$ 。

$\mathbf{x}=(x_1\ \ x_2\ . . .\ \ x_N)$

$\mathbf{y}=(y_1\ \ y_2\ . . .\ \ y_N)$

都是非负实数向量，方程组要解 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 。

其它参数都是已知，而且 $\sum\limits_{i=1}^Na_i=1$ ； $\sum\limits_{i=1}^Nb_i=1$ 。

我可以数值求解这个方程组，但是都是在给定参数的情况下。

我很好奇有没有什么理论结果可以证明某些情况下这种多项式方程组存在解或者不存在解。

PS 我已经试过了不动点定理和Groebner Basis 方法，都行不通；有人建议我用Hilbert 零点定理，我不是学数学的，对代数几何停留在线性代数，我勉强了解了一些关于群环之类的定义，发现Hilbert 零点定理应该是要求这个多项式环的理想，然后，我就意识到Groebner basis应该也是这个意思，就是求这个多项式环的理想（不知道我有没有弄错）；

我想问如果要求这种多项式环的理想的话，除了求Groebner basis以外（如果这是求理想的话），还有什么方法吗？可能需要比较效率高的方法，因为这个方程组的理论维度可以任意大，当然，如果有特殊方法也欢迎科普。

然后，除了用Hilbert 零点定理以外，还有没有什么方法理论可以证明一个这样的多项式方程组解的存在性呢？

欢迎大家科普，先行谢过。

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