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[交流]
【交流】简论牛顿力学的和拉格朗日力学几何的差异性
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翻开大多数海内外的一本中级理论物理学教材（即本科高年级和硕士低年级），都是简要地回顾了一下牛顿力学（包括哈密顿力学在内）和拉格朗日力学两种力学的所谓的“物理学”差异性，几乎从不论述它们二者的几何学差别性。而有的美国教授豪瑟正确地说道，把在一个正交空间中展现的牛顿力学，放进两个互为倒易的斜交空间重新表述出来的力学就是拉格朗日力学。可是，却没有把“牛顿力学和拉格朗日力学的几何差别”陈述出来。 当然，在高等物理学的教材（硕士高年级和博士年级）中，很多国内外的作者几乎是清一色地把“牛顿力学和拉格朗日力学的差别”诠释为“余切丛和切丛上的函数”（微分几何中，一个微分流形的余切丛是流形每点的余切空间组成的向量丛；一个微分流形的切丛是一个由流形各点上切空间组成的向量丛，其总空间是各切空间的不相交的并集），固然这是正确滴。可是，切丛和余切丛的关系又是什么呢？呵呵，遗憾的是几乎没有一个专著明确指出和推导。 然而，更重要的问题却是：“同一个物理学质点的几何模型，真的会有任何物理学上的差别吗？”换言之，当我们选择不同的数学几何学来描述在光滑自由空间中同一个物理质点的加速运动的时候，无疑地将产生数学上的形式差别，可是这会出现物理学上的本质差别吗？ 欧几里德几何学比较特殊，它是在笛卡尔正交坐标系里展开讨论的。这是牛顿力学首选的数学模型，人人对它都耳熟能详。碰巧的是，它的两个左右共轭的空间恰好一模一样，镜像一般而无需任何区分。正是这个特点，让我们觉得欧几里德几何学是在自然那不过的，并且直觉上感到这是很简单、又很真实的几何学。 欧几里德几何学是仿射几何学的一个子几何，它可以被称作是“正交几何学”；而仿射几何学也可以称作是“斜交几何学”。显而易见的是正交的欧几里德几何学是斜交的仿射几何学的一个子几何，因为假如坐标系的个坐标轴恰好是正交的——即彼此相互垂直的话，这时的仿射几何学依旧是仿射几何学，但是，同时还可以被称作是欧几里德几何学了。 就一般情况下，仿射几何学各个坐标轴之间呢，彼此都不相互垂直。这时的几何学就不是欧几里德几何学了，而是仿射几何学了。显然，它要比欧几里德几何学复杂得多。能带来更丰富的几何学内容，还必须引进很多欧几里德几何学一系列的名所没有的但又是必需的很多几何概念集。 首先，它的左共轭空间和右共轭空间很不相同，双双如影随形，密不可分地紧紧关联着，这种双形式可以和欧几里德几何学有着形式上的某种特征的“相似性”！当然，左右两个共轭空间也可以没有任何相关联地独立描写而单独体现，这个时候，就会能凸显出它和欧几里德几何学有着形式上的很大差异。 可是，令人遗憾的是，现有的很多教材却没有能够让我们的学生直观地看清这个特点。我们以北大或者南开的数学系的本科一年级的“空间解析几何学”为例的话，我们就会发现，这些国家教委认可的标准教材的缺陷很大，因为它们一律都没有能正确地、完整地介绍仿射几何学。它们呢，只是轻描淡写了仿射几何学的右空间的情形，对于共轭的左右两个空间只字不谈。 描述牛顿经典力学的伽利略几何学，在20世纪初叶才刚刚建立，初步确立起来了我们对伽利略几何学的认识。但是这部分数学研究成果，在今天的经典物理学中，还没有充分的展现。这个不幸的历史，造成了牛顿力学和拉格朗日力学的继续分裂，值得注意的是，各种国内外的中级力学和高级力学的硕博研究生的教材，所给出 的各种“从牛顿力学推导拉格朗日力学”的种种所谓的“推导”——没有一个是正确的！切莫误入歧途哦。 牛顿力学和拉格朗日力学的分裂，现有的这些几何学是没有能力来弥合的。怎么办呢？这就需要我们来把仿射几何学及其微积分和纤维丛几何学及其纤维微积分，用创造性来加以完整化。从而填平牛顿力学和拉格朗日力学之间的大约近300年的历史鸿沟——在几何表述上严格证明二者是伽利略对偶几何学上的一对力学。 谢谢 |
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