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袁庭

金虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: -13
帖子: 313
在线: 211.9小时
虫号: 1045676

[交流] 一道多项式方面得题，行家指点下迷津啊

6.设P是C的一个子集。
1）如果对任何a，b∈P，有a+b∈P,则称P对加法封闭。
2）如果对任何a，b∈P，有a-b∈P,则称P对减法封闭。
3）如果对任何a，b∈P，有ab∈P,则称P对乘法封闭。
4）如果对任何a，b∈P，有a/b∈P,则称P对加法封闭。
定义 1 复数集C的子集P，如果满足下面两个条件：
1）a∈P，a≠0，
2）P对四则运算都封闭，
则称为一个数域
Q，R，C都是数域，分别称为有理数域，实数域，复数域。

{0}对四则运算封闭，但不是数域。

例
令
      P=Q（√2）=｛a+b√2 | a,b, ∈Q｝,
试证P是一个数域。
证  因为0,1∈Q（√2），故满足条件1).设a，b，c，d∈Q，则
（a+b√2）±(c+d√2)∈P,
（a+b√2）(c+d√2)=（ac+2bd）+（ad+bc）√2∈P。
又设c+d√2≠0.若d=0，则c≠0。于是c=c-d√2≠0。
若d≠0，由√2是无理数知c-d√2≠0。总之，c+d√2≠0则c-d√2≠0。
于是（a+b√2）/(c+d√2)
=（a+b√2）(c-d√2)
/(c+d√2)(c-d√2)=（a+b√2）(c-d√2)
/(c2-2d)∈P,因而P满足条件2）.故P=Q（√2）是数域。

显然，QQ（√2）R

同样令P=Q（√-1）=｛a+b√-1| a,b, ∈Q｝,
试证P是一个数域。
显然，Q（√-1）C

令
      Q（3√25）=｛a+b3√25+c3√25 | a,b,c ∈Q｝,
试证Q（3√5）是。
3√25是三次根号25的意思，鉴于对话框输不出这种格式，就这样打出来，知道意思就行了

是根据前面的定义和例题，是证明黑体字标记的问题！
加法，减法，乘法的已证明，除法怎么证明
这个题是一个老的版本代数里面出现的，不感兴趣的虫友也不喜勿喷啦