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雄起铁杆木虫 (知名作家)
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关于数学模型，有效期至4月6日
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向大家请教一个问题，有关多因素的二次回归数学模型，请问单因素具有抛物线性质是不是二次回归模型的前提？ 10个金币，给出证据的发8个，剩下的2个机动处理。 |
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雄起(金币+1,VIP+0):你没有正面回答我的问题，是与不是应该有一个结论吧 4-6 19:39
雄起(金币+1,VIP+0):你没有正面回答我的问题，是与不是应该有一个结论吧 4-6 19:39
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二次回归正交试验的组合设计方法 二次回归设计就是采用二次多项式作为回归方程。当变量数为P时，二次回归模型的一般形式为 (3-3-18) 在二次回归模型中，共有q个待估计参数 因此，要建立有p个变量的二次回归方程，试验次数应大于q。而且为了估计未知参数 , 每个变量所取得的水平不应小于3。在三水平上做p个变量的全因素试验，试验次数为3p。当p=4时，三水平的全因素试验次数数量是81次，比p=4时的二次回归系数 要多4倍以上，以致剩余度过大。为了有效地减少不必要的试验次数，提出一种组合设计法。这种方法是在因素空间中选择几类具有不同特点的点，把它们适当组合成为一个试验计划，此计划应尽量减少试验次数，并且有正交性。 以p=2为例，在有两个变量x1,x2场合下，组合设计由以下9个试验点组成（见表3-3-13）： 表3-3-13 这9个试验点在平面图上的位置如图3-3-2所示。 图3-3-2 当p=3，即有三个变量时，组合设计由15个试验点组成，见表2-14。这15个试验点在空间的位置，如图3-3-3所示。 表3-3-14 图3-3-3 一般地，p个变量的组合设计由下列三类试验点组成： 第一类点为二水平（-1和1）全因素试验的试验点，这类试验点共有2p个，如果采用1/2或1/4 实施法，则为2p-1或2p-2个试验点。 第二类点为分布在p个坐标轴上的星号点，这类试验点共有2p个，它们与中心点的距离为 ，称为星号臂。 是待定系数，可根据不同的要求确定 值。 第三类试验点为中心点，即各变量都取零水平的试验点。在中心点上的试验可以只做一次，也可以重复做若干次。 若以N0表示第一类试验点个数，以m0表示第三类试验点个数，则p个变量的组合设计试验点数N为： N=N0+2p+m0 用组合设计安排的试验计划有一系列优点：首先，它的试验点比三水平的全因素试验少得多，但仍保持足够的剩余度。其次，因为它是在一次回归的基础上获得的，故试验方便。如果一次回归不显著，那么只要在一次回归的基础上，再在星号点和中心点上补做一些试验，就可求得二次回归方程。 现以p=2为例，说明二次回归正交组合设计的试验计划。当m0=1时，试验计划如表3-3-15所示。该表也是二次回归组合设计的结构矩阵。 表3-3-15 在表3-3-15中x1,X2 ,x1x2 三列的第1至4号试验分别为L4(23)正交表中的第1,2,3列，其不同之处仅在于把L4(23)表中的“2”改为“-1”。计算常数项的方法与一次回归正交设计的做法相同，在该表最前面增加x0列，其编码全为“1”。而 所占的列则是x1 与x2 的交互效应列。 , 各列的编码分别由同一行的x1 与x2 列编码的的平方求出。第5至8号试验是安排在二个轴上的四个星号位置的试验，第9号试验是由x1 和x2 的零水平组成的中心试验点。 从表3-3-15可以看出，在组合设计的结构矩阵中，一次变量和交互效应列中每列的代数和为零，任意二列之积的代数和仍为零。因此，组合设计中这一部分具有正交性。但在表3-3-15中，二次变量 和 列则不具备上述两个性质，即整个表3-3-15的正交性被 和 列破坏了。为使组合设计具有正交性，必须对 和 列进行适当处理，并针对不同的情况确定 值。具体处理方法是：令 做变换，使 这种变换称为对平方项进行中心化处理。其通用公式为： 对平方项进行中心处理后，表3-3-15成为表3-3-16的形式。该表各列均满足 即组合设计具有正交性。 表3-3-16 把表3-3-16以矩阵形式表示，其结构矩阵为 其中 其系数矩阵 该矩阵还不是对角阵。为消除回归系数间的相关性，应使其系数矩阵A为对角阵。为此应选取适当 ，使 由上式可求得 ，即取 时系数矩阵A变为对角阵 将 代入表3-3-16中得表3-3-17。 表3-3-17 一般地，设有p个因素Z1,Z2,…，Zp，其指标y在一定的范围内可近似地用二次函数描述，则其二次回归正交组合设计可按下述方法进行： （1）确定各因素的变化范围。以Z1j和Z2j分别表示因素Zj（j=1,2,…,p）变化的上限和下限，并用下式计算各因素的零水平（Z0j）和变化区间（△j）： （3-3-21） （2）对每个因素的水平进行编码，编码时线性变换按(3-3-3)式 进行。 需要指出的是在这里因素Zj的上下水平对应的不是+1和-1 ，而是 和 ，每个因素也不是三个水平，而是以下五个水平： （3）选择相应的组合设计。按给定的p和选定的m0查表或计算使该设计具有正交性的 值。常用 值表如表3-3-18。 值的计算可按（3-3-22）式进行。 （3-3-22） 表3-3-18 然后编制试验方案，并对 列进行中心化处理，最后配列计算格式表。为方便应用，这里分别给出了p=2,p=3和p=4时的试验计划安排表（见表3-3-17，表3-3-19，表3-3-20） 表3-3-19 表3-3-20 二、回归系数的计算及显著性检验 根据试验结果，利用结构矩阵的正交性，可容易地写出系数矩阵A，常数项矩阵B和相关矩阵C： （3-3-23） 其中 （3-3-24） 其中 （3-3-25） 则回归系数 b=A-1B 即 （3-3-26） 回归方程为 （3-3-27） 其中 将xj 代回（3-3-27）式中，则回归方程可记为 （3-3-28） 其中 回归方程及系数的方差分析和显著性检验与一次回归正交设计相类似，可按表3-3-21进行。 表3-3-21 三、应用举例 例3-3-4螺旋弹簧式提升机是通过套筒内螺旋弹簧旋转来输送物料的一种机械运输设备。研究其提升量（y）与被输送物料堆比重（Z1），和螺旋升角（Z2）之间的二次回归关系。 这是二个因素的二次回归问题，故选用组合设计的方法安排试验。若取m0＝1，则γ＝1，此时可选用表3-3-17安排试验计划。这二个因素的变化范围是Z1:0.3－12（克/厘米3）Z2:12°-18°。据此可按（3-3-21）式计算它们的零水平和变化区间，并按（3-3-3）式进行编码，结果见表3-3-22。试验计划试验结果及各项计算见表3-3-23。 表3-3-22 表3-3-23 根据表3-3-23的计算结果，回归方程为 方差分析见表3-3-21进行，结果列于表3-3-24。 检验结果说明，一次项均在α=0.01水平上显著，交互项在α=0.05水平上显著，二次项x1´在在α=0.25水平上显著，x2´不显著。回归方程在α=0.01水平上显著。 把 x1´= x12-2/3 x2´= x22-2/3 代入回归方程中，得回归方程的另一种形式 表3-3-24 例3-3-4 方差分析表 |
5楼2009-04-06 18:09:38