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求拉普拉斯变换唯一性的严格证明
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网上搜到的叫lerch定理，但是查到的证明都不严谨。在这里阐述下我找到的证明的一般步骤 1，证明对于任意n为正整数都有 $\int_0^\infty x^nf(x)dx=0,x\in [0,1]$ 且函数连续，则有 $f(x)=0,x\in [0,1]$ 这一步没啥问题。 2，证明 $L{f(x)}=0$，则可用 $u=e^{-x}$ 带换积分，得到 $\int_0^\infty u^{-(s-1)}f(-ln(u))du=0,u\in (0,1]$ 然后根据s的任意性和第一步证明f(x)恒等于零。 3，两个转换相见等于0，故证明原函数相等。 问题在于第二步，因为转换后的定义域不是闭区间，所以转换后为反常积分。网上大部分证明是说如果存在a使得 $e^{-at}f(t)$ 在t无限大的时候等于零～则定义 u=0时的值为0，从而补全积分区间。 我想问下这个条件是不是必须的？可否通过函数连续及 $\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt=0$ 退出条件？ 发自小木虫Android客户端 |
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