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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】关于常微分方程复数特解的线性组合问题
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coki2008xmu

金虫 (正式写手)

[交流] 【求助】关于常微分方程复数特解的线性组合问题

在解二次常系数微分齐次方程时，如果得到两个复数特解，通过线性组合可以得到两个实数特解，从而得到通解。
我的问题是要将复数特解组合成实数特解时，要用到复数i进行线性组合，这具有普适性吗？一般线性组合不是都用实数吗？！
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1楼 2009-03-18 22:54:13
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★
Doctorcbw(金币+2,VIP+0):谢谢参与 12-8 15:09
求解二次常系数微分齐次方程时是想得到实函数的解，只是我们在应用常微分方程上的方法求解时却得到了复函数。其实这个根本不是问题，因为解得的复函数本身也确实是方程的解，问题是如何由这些复函数特解得到实函数的解，就是应用常微分方程的性质（解的线性组合仍是方程的解）得到等价的线性无关的实函数特解，从而进一步写出通解。

这正如历史上一元二次方程的求解似的，只有引入了根式的概念才使得通解成为可能。求解二次常系数齐次常微分方程时如果在更大的空间中考虑就得到了一个普遍的方法
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4楼2009-03-27 21:41:29
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coki2008xmu

金虫 (正式写手)
★ ★
Doctorcbw(金币+2,VIP+0):谢谢参与 12-8 15:09
如果解一个方程我有4个复数特解，我怎么组合成实数特解？
另外，高数书上幂级数一章里的欧拉公式exp(ia)=cos(a)+isin(a)我不大理解它的推导和证明，关于复级数的展开涉及到复数的乘法，它能和实数一起混合运算吗？望虫友指点。
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2楼2009-03-23 22:33:19
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fspdlh

金虫 (正式写手)
不知虫友学线代了吗，组合成实数解可以看看线代的知识
是哪一步没看明白说清楚点嘛
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3楼2009-03-25 19:29:06
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coki2008xmu

金虫 (正式写手)
多谢回复，关于更大的空间，四楼虫友能进一步解释一下吗？
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5楼2009-03-28 13:55:14
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