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hylpy

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[交流] 一个极限的另类计算已有1人参与

计算： $\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }\frac{e^{-xy}}{1+y^2}dy.$          （武汉大学，四，2002）

解：因为

                $\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }\frac{e^{-xy}}{1+y^2}dy\geq 0,$

                $\int_{1}^{+\infty }\frac{y^2e^{-xy}}{1+y^2}dy\geq 0.$

所以有

      $\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }\frac{e^{-xy}}{1+y^2}dy\leq \lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }\left (\frac{e^{-xy}}{1+y^2}dy +\frac{y^2e^{-xy}}{1+y^2}dy \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }e^{-xy}dy=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{-1}{x}\int_{1}^{+\infty }d(e^{-xy})=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{xe^x}=0.$

夹逼法，有：

          $\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }\frac{e^{-xy}}{1+y^2}dy=0.$

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2018-03-14 16:44:52

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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

积分下限改成0才稍微有点意思。

2楼2018-03-14 20:12:34

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