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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

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[交流] 一个极限的另类计算已有1人参与

计算： $\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }\frac{e^{-xy}}{1+y^2}dy.$          （武汉大学，四，2002）

解：因为

                $\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }\frac{e^{-xy}}{1+y^2}dy\geq 0,$

                $\int_{1}^{+\infty }\frac{y^2e^{-xy}}{1+y^2}dy\geq 0.$

所以有

      $\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }\frac{e^{-xy}}{1+y^2}dy\leq \lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }\left (\frac{e^{-xy}}{1+y^2}dy +\frac{y^2e^{-xy}}{1+y^2}dy \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }e^{-xy}dy=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{-1}{x}\int_{1}^{+\infty }d(e^{-xy})=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{xe^x}=0.$

夹逼法，有：

          $\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{1}^{+\infty }\frac{e^{-xy}}{1+y^2}dy=0.$