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【求助】一个行列式问题？
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小弟现在想证明下面一个东西，不知道有没有人见过行列式的这个性质没有？烦请搞代数方面的高手解答阿，50金币酬谢！ 对于一个3*3的矩阵 a11 a12 a13 a22*det a21 a22 a23 == a31 a32 a33 det a11 a12 * det a22 a23 -- det a21 a22 * det a12 a13 a21 a22 a32 a33 a31 a32 a22 a23 对于一个4*4的矩阵 a22 a23 a11 a12 a13 a14 det a32 a33 * det a21 a22 a23 a24 == a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a11 a12 a13 a12 a13 a14 det a21 a22 a23 * det a22 a23 a24 a31 a32 a33 a32 a33 a34 a22 a23 a24 a21 a22 a23 -- det a32 a33 a34 * det a31 a32 a33 a42 a43 a44 a41 a42 a43 现在我想证明对于N*N的矩阵也满足这个性质。谢谢! [ Last edited by xutodd on 2009-3-9 at 01:41 ] |
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我用MATLAB取随机数进行了一些计算，小行列式只有为N-2阶时结论才成立，计算了当大行列式为100阶时也成立。 但这个问题证起来似乎不太容易，我觉得，下面是我的一些想法，三阶的证出来了，三阶以上的进行了一点简化，希望能对楼主有所启发，你是怎样发现这个规律的？可否一起分享啊？，有什么实际应用吗，也许能给大家一些启发。 下面是我构造的一个行列式，小a代表数字，大A代表矩阵，以研究N×N矩阵： [ a11, A12, a13] [ A21, A22, A23] [ a31, A32, a33] 它的值可以写成下面两个行列式之和： [ a11, A12, a13] [ 0, A22, A23] [ a31, A32, a33] [ 0, A12, a13] [ A21, A22, A23] [ 0, A32, a33] 对第一行、第末行、第一列和第末列分别进行这种操作，可得它等于下面16个行列式之和： [ a11, 0, a13] [ 0, A22, 0] [ a31, 0, a33] [ 0, 0, a13] [ A21, A22, 0] [ 0, 0, a33] [ 0, A12, 0] [ 0, A22, 0] [ a31, 0, a33] [ 0, A12, 0] [ A21, A22, 0] [ 0, 0, a33] [ a11, 0, 0] [ 0, A22, A23] [ a31, 0, 0] [ 0, 0, 0] [ A21, A22, A23] [ 0, 0, 0] [ 0, A12, 0] [ 0, A22, A23] [ a31, 0, 0] [ 0, A12, 0] [ A21, A22, A23] [ 0, 0, 0] [ a11, 0, a13] [ 0, A22, 0] [ 0, A32, 0] [ 0, 0, a13] [ A21, A22, 0] [ 0, A32, 0] [ 0, A12, 0] [ 0, A22, 0] [ 0, A32, 0] [ 0, A12, 0] [ A21, A22, 0] [ 0, A32, 0] [ a11, 0, 0] [ 0, A22, A23] [ 0, A32, 0] [ 0, 0, 0] [ A21, A22, A23] [ 0, A32, 0] [ 0, A12, 0] [ 0, A22, A23] [ 0, A32, 0] [ 0, A12, 0] [ A21, A22, A23] [ 0, A32, 0] 其中有六个值为零，九个显然符合楼主的结论，只有最后一个我没搞定，也就是说只要证明以下行列式符合结论即可： [ 0, A12, 0] [ A21, A22, A23] [ 0, A32, 0] 这个行列式当为三阶时显然为零，就证明了三阶时成立，N>3时望高手解决，期待。 [ Last edited by fspdlh on 2009-3-7 at 18:23 ] |
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3×3的矩阵没错 >> x=det(sym('[ a ,b ,c ;d ,e ,f ;g ,h,i]')) x = i*a*e-a*f*h-i*d*b+d*c*h+g*b*f-g*c*e >> y=det(sym('[a,b;d,e]'))*det(sym('[e,f;h,i]'))-det(sym('[b,c;e,f]'))*det(sym('[d,e;g,h]')) y = (a*e-d*b)*(i*e-f*h)-(b*f-c*e)*(d*h-e*g) >> simplify(sym('e')*x-y) ans = 0 [ Last edited by fspdlh on 2009-3-7 at 18:21 ] |
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