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连续乘是否是一块合格的铺路石？
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众所周知，自然数集上的乘法可在加法的基础上定义出来, 采用同样的方式可在乘法的基础上定义出乘方（指数运算）。但是，实数集上的乘法并非是在实数集的加法的基础上定义出来的，实数乘法的经典定义是在有理数乘法的基础上定义出来的。实数集上的乘方定义更复杂，需要首先定义指数为正整数的乘方，接着定义指数为正整数倒数的乘方，然后定义指数为有理数的乘方，最后利用数列的极限定义出指数为正实数的乘方。 细心的朋友不难发现, 实数集上乘法和乘方的经典定义一个比一个别扭。最终留下一个天坑，自然数集上的tetration(超四运算)在连续统上缺少自然的对应物，没有人知道实数集上乘方运算之后的那个运算长什么样。打一个通俗的比方，如果说乘法是加法的儿子，乘方是乘法的儿子。数学家发现，自然数集上乘方的儿子就是tetration，但实数集上乘方的儿子长什么样, 没人知道。自欧拉以后，很多数学家都在寻找乘方的儿子，但没有一个方案是令人满意的。 我们最近发现，传统数学家在连续统上推广tetrtion陷入困境的根源在于，经典实数的构造是在有理数的基础上完成的，以至于隐匿了整数之间的哪种递归性。如果直接在整数的基础上构造正实数，则实数的乘法可以直接在实数加法的基础上定义出来，并且用同样的方法可以在实数乘法的基础上定义出实数乘方。我们对这种思路进行了统一处理，定义了度量空间上规范二元运算的左右连续乘的概念，并且证明正实数集上的乘法是加法的左连续乘和右连续乘，乘方是乘法的的左连续乘和右连续乘。但正实数集上的乘方即没有左连续乘也没有右连续乘。如果坚持形式连续乘（类似于形式幂级数）的思路, 则乘方的形式连续乘具有非常奇特的性质，其对应的二元函数不仅处处不连续，而且任意点的任意邻域中都存在发散点和收敛点。我们认为大自然中也可能存在类似的景象，例如，宇宙中暗物质的分布，就可能与某种形式连续乘的发散点的分布有关，它们并非聚集在遥远的某处，而是遍布于宇宙的每一个角落，包括我们的身内和身边。 我们希望连续乘能成为一块合格的铺路石，为有心人在研究生涯中带去新的启发。感兴趣的虫友可在此下载论文全文： http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201711-122 欢迎批评指正和进一步探讨。 |
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