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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 实际问题中遇到的一个积分，本人数学不是很好求助！！！
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cq15230

新虫 (初入文坛)

[求助] 实际问题中遇到的一个积分，本人数学不是很好求助！！！ 已有1人参与

dy/dt=-ay^2-by+c

这个方程能否求出 y的表达式
或者是关于y和t的表达式？

感谢
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1楼 2017-08-01 16:33:41
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alober

木虫 (著名写手)
★ ★ ★
cq15230(Edstrayer代发): 金币+3 2017-08-02 02:16:54
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2楼2017-08-01 17:12:28
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
cq15230(Edstrayer代发): 金币+2 2017-08-02 02:17:03
dy/[y^2+b/a*y-c/a]=-a*dt
Integral{dy/{[y+b/(2*a)]^2-[b^2+4*a*c]/a^2}}=C-a*t
左边的积分需要根据b^2+4*a*c的取值是正、负、零分别进行讨论。不同的情况下得到的积分结果是不同的。
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3楼2017-08-01 19:49:38
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cq15230

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by alober at 2017-08-01 17:12:28
\frac{dy}{ay^2+by-c}=-dt \Rightarrow -t=\int\frac{dy}{ay^2+by-c}dy=\frac{2\arctan\frac{b+2ay}{\sqrt{-b^2-4ac}}}{\sqrt{-b^2-4ac}}

你好，我想知道最后一步是怎么得出来的？是公式吗？
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4楼2017-08-02 15:33:47
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alober

木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by cq15230 at 2017-08-02 15:33:47
你好，我想知道最后一步是怎么得出来的？是公式吗？...

积分表里就有，有理函数的，含有ax^2+bx+c的积分，第一个就是。可以参考下面链接中的积分表：
https://wenku.baidu.com/view/183d44bef121dd36a32d821e.html
当然都是能手工推出来的，如果不擅长积分，可以试试求导往回算来验证。
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cq15230
5楼2017-08-02 15:55:49
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cq15230

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2017-08-01 19:49:38
dy/=-a*dt
Integral{dy/{^2-/a^2}}=C-a*t
左边的积分需要根据b^2+4*a*c的取值是正、负、零分别进行讨论。不同的情况下得到的积分结果是不同的。

非常感谢，知道怎么算了  后面是不是少除了一个4？
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6楼2017-08-02 16:02:17
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cq15230

新虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
5楼: Originally posted by alober at 2017-08-02 15:55:49
积分表里就有，有理函数的，含有ax^2+bx+c的积分，第一个就是。可以参考下面链接中的积分表：
https://wenku.baidu.com/view/183d44bef121dd36a32d821e.html
当然都是能手工推出来的，如果不擅长积分，可以试试求 ...

非常感谢！回复也很及时，帮了我一个大忙
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7楼2017-08-02 16:03:22
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
6楼: Originally posted by cq15230 at 2017-08-02 16:02:17
非常感谢，知道怎么算了  后面是不是少除了一个4？...

是的，应该是 ：Integral{dy/{[y+b/(2*a)]^2-[b^2+4*a*c]/（4*a^2）}}=C-a*t 。谢谢纠错。
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8楼2017-08-02 20:38:02
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