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湫和海棠

新虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 14.1
帖子: 5
在线: 1.1小时
虫号: 6990849

已领完

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我是按照泰勒展开做的，但是不知道右边哪一项为不为0，个人感觉是不对的。就这点金币了，谢谢各位前辈了。

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1楼 2017-07-25 19:51:34

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
金币: 22815.2
帖子: 2681
在线: 473.6小时
虫号: 3331731

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10 2017-07-26 03:05:38

$L=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}n(-1+e^{(\frac{k}{n})^2/n})=\lim_{n\to\infty}n\int_{0}^{1}(-1+e^{\frac{x^2}{n}})dx = \lim_{n\to\infty}n(-1+\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}e^{x^2}dx)=\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{1}{\sqrt{n}}+\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}e^{x^2}dx}{\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}}\mathop{=}^{\text{L'Hospital}}\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2n^{3/2}}-\frac{e^{1/n}}{2 n^{3/2}}}{-\frac{3}{2 n^{5/2}}}=\frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}(e^{1/n}-1)n=\frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\frac{e^(1/n)-1}{1/n}\mathop{=}^{\text{L'Hospital}}\frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}e^{1/n}=\frac{1}{3}$