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zrh6

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[求助] 裴礼文数学分析的一道题已有1人参与

如图所示，这个递推一直不知道该怎么处理

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1楼 2017-07-19 22:04:39

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zrh6

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第二十六，也就是最下面的题

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2楼2017-07-19 22:05:13

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立迷特

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将1+1/a_k变成 $\frac{a_{k+1}}{(k+1)a_k}$ , 然后得到乘积为 $\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}$ 计算得 $\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{a_n}{n!}+\frac{1}{n!}=\frac{a_{n-1}}{(n-1}!}+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}=\cdots$ ，依次递推下去知极限为e-1.

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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

zrh6

3楼2017-07-20 08:24:14

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3楼: Originally posted by 立迷特 at 2017-07-20 08:24:14
将1+1/a_k变成\frac{a_{k+1}}{(k+1)a_k}, 然后得到乘积为\frac{a_{n+1}}{(n+1)!} 计算得\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{a_n}{n!}+\frac{1}{n!}=\frac{a_{n-1}}{(n-1}!}+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}=\cdots，依次递 ...

三克油，一看就是个做过裴礼文的。

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4楼2017-07-20 08:26:55

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引用回帖:

还有，你做裴礼文是不是做了好几遍，求教指点，我做到一百页做不动了。

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5楼2017-07-20 08:28:04

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立迷特

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【答案】应助回帖

引用回帖:

$\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{a_n}{n!}+\frac{1}{n!}=\frac{a_{n-1}}{(n-1)!}+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}=\cdots$

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6楼2017-07-20 08:29:08

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alober

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$\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{a_k}) = \prod_{k=1}^{n}(\frac{a_k+1}{a_k})<br /> = \prod_{k=1}^{n}(\frac{a_k+1}{k(a_{k-1}+1)}) = \frac{a_1+1}{1(a_0+1)}\cdot\frac{a_2+1}{2(a_1+1)}\cdots\frac{a_n+1}{n(a_{n-1}+1)}=\frac{a_n+1}{n!} =\frac{1+n(a_{n-1}+1)}{n!}=\frac{1+n+n((n-1)a_{n-2}+1)}{n!}=\frac{1+n+n(n-1)+n(n-1)a_{n-2}}{n!}=\cdots=\frac{1+\frac{n!}{(n-1)!}+\frac{n!}{(n-2)!}+\cdots+\frac{n!}{2!}+\frac{n!}{2!}a_2}{n!}=\frac{1+\frac{n!}{(n-1)!}+\frac{n!}{(n-2)!}+\cdots+\frac{n!}{2!}+\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{1!}}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \to e$