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源儿源

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偏微分方程试题

求解答偏微分方程题


求解答偏微分方程题-1


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1楼 2017-07-01 11:08:16
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★
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Edstrayer: 金币+3 2017-07-08 06:08:48
个人愚见：
1.根据弱解定义，选取合适的test function，得出Du跟D^2u的H1模是有限数，这样方程左端与右端之差跟任意的test function在区域任意子集的积分都为0，从而两者之差a.e为0，得证（其实也就是考查正则性）；
2.可以先考虑H1,0的稠密子空间，利用Poincare不等式证明两范数等价性，再利用极限逼近法推出题目结论。
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12楼2017-07-01 13:17:35
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源儿源

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
12楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2017-07-01 13:17:35
个人愚见：
1.根据弱解定义，选取合适的test function，得出Du跟D^2u的H1模是有限数，这样方程左端与右端之差跟任意的test function在区域任意子集的积分都为0，从而两者之差a.e为0，得证（其实也就是考查正则性） ...

谢谢！

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13楼2017-07-01 14:27:49
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源儿源

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
12楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2017-07-01 13:17:35
个人愚见：
1.根据弱解定义，选取合适的test function，得出Du跟D^2u的H1模是有限数，这样方程左端与右端之差跟任意的test function在区域任意子集的积分都为0，从而两者之差a.e为0，得证（其实也就是考查正则性） ...

能帮忙写下过程吗？谢谢

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14楼2017-07-01 14:50:07
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)
★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+2 2017-07-08 06:09:03
对于第一题，首先由定义可以知道，Du的L2范数必然小于等于u的H1,0范数；
其次，根据庞加莱不等式（其实前身是弗里德里希斯不等式），证明u的L2范数小于等于Du的L2范数乘以一个正的常数，因此Du的L2范数乘以一个正的常数大于u的H1,0范数；
根据范数等价性定义，问题得证。

附图（弗里德里希斯不等式的一个证明）：
求解答偏微分方程题-2
捕获.PNG


求解答偏微分方程题-3
捕获1.PNG
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15楼2017-07-04 02:55:17
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
对于第2题（也就是楼主第一张图片的题目），其实很多研究生的书都有类似证明过程。
可见下面链接：http://www.docin.com/p-550925173.html（P309-P311）
只是链接上的方程更一般，做一些小修改即可。
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16楼2017-07-07 22:01:04
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万邦翻译2楼
2017-07-01 11:08   回复  
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笑兴兴3楼
2017-07-01 11:08   回复  
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阿tain4楼
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蔷薇ww5楼
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牛子琪6楼
2017-07-01 11:08   回复  
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dongmings7楼
2017-07-01 11:08   回复  
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lxp9308268楼
2017-07-01 11:09   回复  
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strabarry9楼
2017-07-01 11:09   回复  
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_依数性10楼
2017-07-01 11:09   回复  
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鸣暝居11楼
2017-07-01 11:10   回复  
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