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小木虫论坛-学术科研互动平台» 网络生活区» 有奖问答 » 有奖问答中转子版 » 学术实验 » 重金求方程的解
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555warcraft

木虫 (小有名气)
x,y是变量，a,b,c是常数。
请大虾们帮帮忙啊。
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11楼2009-01-20 10:33:14
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bigcatln

铁虫 (小有名气)
dy/dx=a+bxy+cy*y

dy/ydx=a/y+bx+cy
dy/ydx-a/y-cy=bx
d lny /dx -a/y -cy=bx 令lny=u 转化为非线性齐次再求解，可能是一个方法
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12楼2009-01-20 14:51:14
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555warcraft

木虫 (小有名气)
11楼的朋友分析得有道理，能否继续？
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13楼2009-01-20 16:15:39
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echocean

新虫 (小有名气)
我没看出来11楼的朋友说的有道理了。楼主，你这个方程哪里来的，非线性非齐次微分方程，不能分离变量项，也不能用伯努利方程套解，真的很难。
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14楼2009-01-20 17:54:44
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echocean

新虫 (小有名气)
LZ，能告诉我你找过数学系的老师帮忙解题了么？要是他们都不能解，那还是算了吧。
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15楼2009-01-20 17:59:14
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echocean

新虫 (小有名气)
LZ，这道题可以这样解。
这个方程首先是一个一阶微分方程。
它的形式是Riccati方程dy/dx=p(x)y^2+q(x)y+r(x)
                     原方程 dy/dx=    cy^2+   bxy+   a
    变量x的函数构成系数项p(x)=c  q(x)=bx  r(x)=a
已知初始条件 y0=y(x0)，即，必需给出已知的x0,y0，我现在假设x0=0,y0=0。
根据Riccati方程，我们在定义域R(X,Y)内（这个定义域也是已知的，如果不已知，那么自己设定，因为本身连a b c三个常数也没有给出），选定任意一个x1，你可以假设x1=5（当然在x1时必需有解，既然a b c不已知，又要求解，那么就当方程有解），求出和x1对应的y1值。
带入原方程dy/dx=cy^2+bxy+a;
               dy=(cy^2+bxy+a)dx;
               y=(cy^2+a)*x|(0,5)+b/2y*x^2|(0,5)，积分运算，积分符号写不上来，希望楼主能看明白。
               y=5cy+5a+12.5by;
               解得y1=5a/(1-5c-12.5b);
即有一个特解(x1,y1)=(5,5a/(1-5c-12.5b))。
然后设定通解y = y1 + 1 / z，当然这是y和z的函数。（楼主，这个通解的道理不要深究了，否则咱都去把Riccati和伯努利的解法推导一遍）
解到这里，Riccati方程算结束了。
然后将通解y = y1 + 1 / z代入原方程得d(y1+1/z)/dx=a+bx(y1+1/z)+c(y1+1/z)^2；（y1是一个特定常数，如上）整理得 dz/dx+ (bx + 2cy1)z = − c
当然，我们也可以将通解设成y=y1+z，将原方程化为伯努利方程，dz/dx＝（q(x)+2p(x)y1)z+p(x)z^2
，而伯努利方程的解法是令u=1/z，化为du/dx=-p(x)u+(-q(x))，是不是和上一步殊途同归了呢?
这样我们有了 dz/dx＝－ (bx + 2cy1)z − c 的式子，这个是一个非齐次线性微分方程，这样就很好解了吧。
非齐次线性微分方程dz/dx=p(x)z+q(x)的通解为z=e^(积分p(x)dx)*(积分q(x)*e^(-积分p(x)dx)dx+c)。LZ，所有的积分符号，我输不上来，你明白就好了，假如不行，就自己搜一下非齐次线性微分方程的通解）z=y-y1;
      y=z+y1;
通解y=e^(积分p(x)dx)*(积分q(x)*e^(-积分p(x)dx)dx+c)+y1
好了，方程解完了，y是一个仅由x表达的方程等式。
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16楼2009-01-20 20:10:30
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echocean

新虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
555warcraft(金币+10):真棒！多谢了！ 1-21 11:16
倒数第7行，的伯努利解法后面，化为du/dx=-p(x)u+(-q(x))，这里要修正为du/dx=-m(x)u+(-n(x)) m(x)=q(x)+2p(x)y1, n(x)= c
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17楼2009-01-20 20:15:28
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echocean

新虫 (小有名气)
dz/dx=-(bx + 2cy1)z  − c
p(x)=-(bx + 2cy1)
q(x)=-c
通解y=e^(积分p(x)dx)*(积分q(x)*e^(-积分p(x)dx)dx+c)+y1
将p(x),q(x)带入即可
我刚才没写清楚，特此修正
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18楼2009-01-20 20:19:24
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echocean

新虫 (小有名气)
楼主，别忘了给我分，我要靠这个求助别人呢，手头有好些文献，是nature和wiley的，学校的镜像过期了，我现在文献饥荒，愁云密布阿！
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19楼2009-01-20 20:22:04
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555warcraft

木虫 (小有名气)
多谢echocean。
能否请你帮忙把上面的公式用公式编辑器写出来发给我。
你要是找文献的话，我可以帮你的忙。
你把要查的文献直接发到我信箱。我会尽可能地帮你查找。
555warcraft@sohu.com
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20楼2009-01-21 11:15:58
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