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555warcraft木虫 (小有名气)
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重金求方程的解
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dy/dx=a+bxy+cy*y [ Last edited by zzgyb on 2009-2-16 at 10:28 ] |
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LZ，这道题可以这样解。 这个方程首先是一个一阶微分方程。 它的形式是Riccati方程dy/dx=p(x)y^2+q(x)y+r(x) 原方程 dy/dx= cy^2+ bxy+ a 变量x的函数构成系数项p(x)=c q(x)=bx r(x)=a 已知初始条件 y0=y(x0)，即，必需给出已知的x0,y0，我现在假设x0=0,y0=0。 根据Riccati方程，我们在定义域R(X,Y)内（这个定义域也是已知的，如果不已知，那么自己设定，因为本身连a b c三个常数也没有给出），选定任意一个x1，你可以假设x1=5（当然在x1时必需有解，既然a b c不已知，又要求解，那么就当方程有解），求出和x1对应的y1值。 带入原方程dy/dx=cy^2+bxy+a; dy=(cy^2+bxy+a)dx; y=(cy^2+a)*x|(0,5)+b/2y*x^2|(0,5)，积分运算，积分符号写不上来，希望楼主能看明白。 y=5cy+5a+12.5by; 解得y1=5a/(1-5c-12.5b); 即有一个特解(x1,y1)=(5,5a/(1-5c-12.5b))。 然后设定通解y = y1 + 1 / z，当然这是y和z的函数。（楼主，这个通解的道理不要深究了，否则咱都去把Riccati和伯努利的解法推导一遍） 解到这里，Riccati方程算结束了。 然后将通解y = y1 + 1 / z代入原方程得d(y1+1/z)/dx=a+bx(y1+1/z)+c(y1+1/z)^2；（y1是一个特定常数，如上）整理得 dz/dx+ (bx + 2cy1)z = − c 当然，我们也可以将通解设成y=y1+z，将原方程化为伯努利方程，dz/dx＝（q(x)+2p(x)y1)z+p(x)z^2 ，而伯努利方程的解法是令u=1/z，化为du/dx=-p(x)u+(-q(x))，是不是和上一步殊途同归了呢? 这样我们有了 dz/dx＝－ (bx + 2cy1)z − c 的式子，这个是一个非齐次线性微分方程，这样就很好解了吧。 非齐次线性微分方程dz/dx=p(x)z+q(x)的通解为z=e^(积分p(x)dx)*(积分q(x)*e^(-积分p(x)dx)dx+c)。LZ，所有的积分符号，我输不上来，你明白就好了，假如不行，就自己搜一下非齐次线性微分方程的通解）z=y-y1; y=z+y1; 通解y=e^(积分p(x)dx)*(积分q(x)*e^(-积分p(x)dx)dx+c)+y1 好了，方程解完了，y是一个仅由x表达的方程等式。 |
16楼2009-01-20 20:10:30
555warcraft
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111wwww
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5楼2009-01-19 15:47:26
