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555warcraft

木虫 (小有名气)

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[交流] 重金求方程的解

dy/dx=a+bxy+cy*y

[ Last edited by zzgyb on 2009-2-16 at 10:28 ]

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1楼 2009-01-19 15:08:31

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echocean

新虫 (小有名气)

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LZ，这道题可以这样解。
这个方程首先是一个一阶微分方程。
它的形式是Riccati方程dy/dx=p(x)y^2+q(x)y+r(x)
                  原方程 dy/dx= cy^2+ bxy+ a
变量x的函数构成系数项p(x)=c  q(x)=bx  r(x)=a
已知初始条件 y0=y(x0)，即，必需给出已知的x0,y0，我现在假设x0=0,y0=0。
根据Riccati方程，我们在定义域R(X,Y)内（这个定义域也是已知的，如果不已知，那么自己设定，因为本身连a b c三个常数也没有给出），选定任意一个x1，你可以假设x1=5（当然在x1时必需有解，既然a b c不已知，又要求解，那么就当方程有解），求出和x1对应的y1值。
带入原方程dy/dx=cy^2+bxy+a;
            dy=(cy^2+bxy+a)dx;
            y=(cy^2+a)*x|(0,5)+b/2y*x^2|(0,5)，积分运算，积分符号写不上来，希望楼主能看明白。
            y=5cy+5a+12.5by;
            解得y1=5a/(1-5c-12.5b);
即有一个特解(x1,y1)=(5,5a/(1-5c-12.5b))。
然后设定通解y = y1 + 1 / z，当然这是y和z的函数。（楼主，这个通解的道理不要深究了，否则咱都去把Riccati和伯努利的解法推导一遍）
解到这里，Riccati方程算结束了。
然后将通解y = y1 + 1 / z代入原方程得d(y1+1/z)/dx=a+bx(y1+1/z)+c(y1+1/z)^2；（y1是一个特定常数，如上）整理得 dz/dx+ (bx + 2cy1)z = − c
当然，我们也可以将通解设成y=y1+z，将原方程化为伯努利方程，dz/dx＝（q(x)+2p(x)y1)z+p(x)z^2
，而伯努利方程的解法是令u=1/z，化为du/dx=-p(x)u+(-q(x))，是不是和上一步殊途同归了呢?
这样我们有了 dz/dx＝－ (bx + 2cy1)z − c 的式子，这个是一个非齐次线性微分方程，这样就很好解了吧。
非齐次线性微分方程dz/dx=p(x)z+q(x)的通解为z=e^(积分p(x)dx)*(积分q(x)*e^(-积分p(x)dx)dx+c)。LZ，所有的积分符号，我输不上来，你明白就好了，假如不行，就自己搜一下非齐次线性微分方程的通解）z=y-y1;
   y=z+y1;
通解y=e^(积分p(x)dx)*(积分q(x)*e^(-积分p(x)dx)dx+c)+y1
好了，方程解完了，y是一个仅由x表达的方程等式。