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风00魂

新虫 (初入文坛)

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1楼 2017-06-25 11:33:27

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alober

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10, thank 2017-07-03 03:55:08

因为 $a_i^2$ 是非负项序列，假设序列和收敛到数 $A$ ，则必有一般项a_n收敛到0，于是 $\lim_{n \to \infty}a_n\sum_{i=1}^{n}a_i^2$ 也收敛到0，与它收敛到1矛盾，因此 $\sum_{i=1}^{n}a_i^2$ 当 $n \to \infty$ 时必定发散到无穷大。序列 $\sum_{i=1}^{n}a_i^2$ 单调增加是显然的。

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{3n}a_n = \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[3]{3n}}{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} \mathop{=}^{O'Stolz} \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[3]{3n}-\sqrt[3]{3(n-1)}}{a_n^2} = A$ ，于是 $A^3 = A^2 \cdot A = \lim_{n \to \infty}(\sqrt[3]{3n}a_n)^2 \cdot \frac{\sqrt[3]{3n}-\sqrt[3]{3(n-1)}}{a_{n}^2} = \lim_{n \to \infty}3n-\sqrt[3]{(3n)^2 \cdot 3(n-1)} = 3\lim_{n \to \infty}n-\sqrt[3]{n^2(n-1)} = 3\lim_{n \to \infty}\frac{1-(1-\frac{1}{n})^{\frac{1}{3}}}{n^{-1}} \mathop{=}^{L'Hospital} 3\lim_{n \to \infty}\frac{-\frac{1}{3}n^{-2}(1-n^{-1})^{-\frac{2}{3}}}{-n^{-2}}=1$ ，因此 $\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{3n}a_n = A = 1$

（本帖中图片由codecogs生成，如果在手机上看不到，可以试试用电脑看。如果用电脑仍然看不到图，可以试试把对应的 ip 放到 hosts 文件里。192.155.228.10 latex.codecogs.com）