[求助] 复分析可去奇点问题

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1楼2017-06-21 16:13:53

alober

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下面做了一些假设，假设A是正的，epsilon是给定的数。令$ $g(z) = (z-z_0)f(z)$$ ，其中$ $z \in D := \{z: 0 < |z-z_0| < r\}$$ ，于是$ $|g(z)| \le A|z-z_0|^{\epsilon}$$ ，于是$ $g(z)$$ 在$ $z_0$$ 的去心邻域上有界，设界是M。显然$ $g(z)$$ 如果有奇点就是$ $z_0$$ ，只要证明$ $z_0$$ 也是$ $g(z)$$ 的可去奇点。

$ $g(z)$$ 负幂部分是$ $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}$$ ，其中$ $c_{-n} = \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{1-n}}d\zeta$$ ，圆周 C 含于 D 内包含点 z_0 且半径 rho 能充分小，于是$ $|c_{-n}| = \frac{1}{2\pi}|\int_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{1-n}}d\zeta| \le \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{M}{\rho^{1-n}} \cdot 2\pi\rho = M\rho^n \to 0$$ ，于是负幂部分是0从而是可去奇点。

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zrh6

2楼2017-06-21 21:00:09

zrh6

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2楼: Originally posted by alober at 2017-06-21 21:00:09
下面做了一些假设，假设A是正的，epsilon是给定的数。令$g(z) = (z-z_0)f(z)$，其中$z \in D := \{z: 0 < |z-z_0| < r\}$，于是$|g(z)| \le A|z-z_0|^{\epsilon}$，于是$g(z)$在$z_0$的去心邻域上有界，设界是 ...

$是什么意思？还有那个ε到底是多少，谢谢大神继续提示一点点，

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3楼2017-06-21 21:14:17

zrh6

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抱歉，你的这个评论可能是由于代码问题，显示不全

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4楼2017-06-21 21:16:05

alober

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4楼: Originally posted by zrh6 at 2017-06-21 21:16:05
抱歉，你的这个评论可能是由于代码问题，显示不全
...

我忘了加下面这段话了：
（本帖中图片由codecogs生成，如果在手机上看不到，可以试试用电脑看。如果用电脑仍然看不到图，可以试试把对应的 ip 放到 hosts 文件里。192.155.228.10 latex.codecogs.com）

因为手机上可能看不到由 codecogs 生成的图。
前一帖中所有$符号都是多余的，在转换中出了错误，是我自己的问题。但如果用电脑能看到图时，不影响图片的内容。
epsilon 需要给定，只要给定就可以，不需要是具体的数，我的证明过程中需要用到 |z-z_0|^(epsilon) 是有界的。

5楼2017-06-21 21:22:24

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好，非常谢谢你

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6楼2017-06-21 21:36:09

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5楼: Originally posted by alober at 2017-06-21 21:22:24
我忘了加下面这段话了：
（本帖中图片由codecogs生成，如果在手机上看不到，可以试试用电脑看。如果用电脑仍然看不到图，可以试试把对应的 ip 放到 hosts 文件里。192.155.228.10 latex.codecogs.com）

...

非常谢谢你！

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7楼2017-06-21 21:43:19

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7楼: Originally posted by zrh6 at 2017-06-21 21:43:19
非常谢谢你！
...

还有这个题，第一个图，当ξ取实数的时候会做，取复数的时候呢？
是不是需要转化到实轴上来做?大神提示一下就行，感激不尽。
注:第一题是第二章第四题。
第二张图片上的留数怎么都算不对
注:这是stein复分析上的题目第三章第五题

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8楼2017-06-22 15:34:57

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再辛苦您一下，帮我看看这两道题
第一题当ξ取自实数的时候会做，取自复数的时候呢？
第二题感觉和答案算的不一样?

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9楼2017-06-22 15:42:15

alober

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9楼: Originally posted by zrh6 at 2017-06-22 15:42:15
再辛苦您一下，帮我看看这两道题
第一题当ξ取自实数的时候会做，取自复数的时候呢？
第二题感觉和答案算的不一样?

...

$f(x) = e^{-\alpha x^2}, \alpha = \pi,\omega = 2\pi\xi \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi x^2}e^{2\pi ix\xi}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{i\omega x}dx = \mathcal{F}[f(x)] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\omega^2}{4\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\pi\xi^2}$

$\xi \le 0, \alpha = -2\pi\xi \ge 0, I(\alpha) = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{i\alpha x}}{(1+x^2)^2}dx = 2\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(\alpha x)}{(1+x^2)^2}dx \Rightarrow \mathcal{L}[I(\alpha)] = 2\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(\alpha x)}{(1+x^2)^2}e^{-s\alpha}dxd\alpha = 2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\int_{0}^{+\infty}\cos(\alpha x)e^{-s\alpha}d\alpha = 2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+x^2)^2} \cdot \frac{s}{s^2+x^2}dx = 2(\frac{s}{s^2-1}\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^2}-\frac{s}{(s^2-1)^2}\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}+\frac{s}{(s^2-1)^2}\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+s^2}) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{s+2}{(s+1)^2} \Rightarrow I(\alpha) = \frac{\pi}{2}\mathcal{L}^{-1}[\frac{s+2}{(s+1)^2}] = \frac{\pi}{2} \cdot (\alpha+1)e^{-\alpha}$

（本帖中图片由codecogs生成，如果在手机上看不到，可以试试用电脑看。如果用电脑仍然看不到图，可以试试把对应的 ip 放到 hosts 文件里。192.155.228.10 latex.codecogs.com）

10楼2017-06-22 18:20:33