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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 两道中科大的数分试题
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

[交流] 两道中科大的数分试题 已有2人参与

1、(15分)求证函数项级数在区间上收敛，并讨论其和函数在此区间上的连续性。





2、(10分)设在实轴R上有二阶导数，且满足方程
                    
                                          

  求证: 和都在R上有界。
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凡事，一笑而过。。。。。。
1楼 2017-05-23 16:33:09
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alober

木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
hylpy: 金币+10, 佩服,很棒的解答. 2017-06-18 16:49:53
第一个收敛是显然的，只要用比值判别法就能得到，收敛到的函数是，也是连续的。

第二个只要让，则，注意，于是，于是F(x)当x < 0时是增函数当x >= 0时是减函数，因此F(x) <= F(0)，而显然有0 <= F(x)，因此0 <= F(x) <= F(0)，这表示F(x)有界，由它的表达式，即有界，于是f(x), f'(x)都有界，否则由反证法知 F(x) 不能有界而矛盾。
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hylpy
2楼2017-06-18 15:05:51
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by alober at 2017-06-18 15:05:51
第一个收敛是显然的，只要用比值判别法就能得到，收敛到的函数是(1-x)^2Li_{-\frac{1}{2}}(x)，也是连续的。

第二个只要让F(x) = f^2(x)+\frac{1}{2}(f'(x))^2，则F'(x) = 2f(x) \cdot f'(x)+f'(x) \cdot f''(x) ...

麻烦alober,第一题的和函数表达式?又是怎么求的呢?
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凡事，一笑而过。。。。。。
3楼2017-06-19 10:49:33
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alober

木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
3楼: Originally posted by hylpy at 2017-06-19 10:49:33
麻烦alober,第一题的和函数表达式?又是怎么求的呢?...



最后的 =: 表示右边由左边定义。Li_s(x) 函数就是多重对数函数，还有一些特殊值可以参考，例如s=1,2,3,x=0.5时的值。
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4楼2017-06-19 12:20:25
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽
引用回帖:
4楼: Originally posted by alober at 2017-06-19 12:20:25
S = (1-x)^2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k^{-\frac{1}{2}}} =: (1-x)^2Li_{-\frac{1}{2}}(x)

最后的 =: 表示右边由左边定义。Li_s(x) 函数就是多重对数函数，还有一些特殊值可以参考，例如s=1,2,3,x=0.5时的 ...

谢谢，嗯嗯
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凡事，一笑而过。。。。。。
5楼2017-06-19 14:16:01
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zaq47942

铁杆木虫 (职业作家)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
可以不求出和函数，求导求出每一项在[0，1]上的最大值，再由M-判别法证明一致收敛

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hylpy
6楼2017-06-20 12:35:34
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽
送红花一朵
引用回帖:
6楼: Originally posted by zaq47942 at 2017-06-20 12:35:34
可以不求出和函数，求导求出每一项在上的最大值，再由M-判别法证明一致收敛

送花花给你
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凡事，一笑而过。。。。。。
7楼2017-06-20 12:57:05
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