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hylpy

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[交流] 两道中科大的数分试题已有2人参与

1、(15分)求证函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{n}(1-x)^2x^n$ 在区间 $(-1，1]$ 上收敛，并讨论其和函数在此区间上的连续性。

2、(10分)设 $f(x)$ 在实轴R上有二阶导数，且满足方程

                                       $2f(x)+{f}''(x)=-xf'(x).$

  求证: $f(x)$ 和 $f'(x)$ 都在R上有界。

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2017-05-23 16:33:09

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alober

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hylpy: 金币+10, 佩服,很棒的解答. 2017-06-18 16:49:53

第一个收敛是显然的，只要用比值判别法就能得到，收敛到的函数是 $(1-x)^2Li_{-\frac{1}{2}}(x)$ ，也是连续的。

第二个只要让 $F(x) = f^2(x)+\frac{1}{2}(f'(x))^2$ ，则 $F'(x) = 2f(x) \cdot f'(x)+f'(x) \cdot f''(x) = -x(f'(x))^2$ ，注意 $(f'(x))^2 \ge 0$ ，于是 $F'(x) \begin{cases}> 0\quad x < 0\\\le 0\quad x \ge 0\end{cases}$ ，于是F(x)当x < 0时是增函数当x >= 0时是减函数，因此F(x) <= F(0)，而显然有0 <= F(x)，因此0 <= F(x) <= F(0)，这表示F(x)有界，由它的表达式，即 $f^2(x)+\frac{1}{2}(f'(x))^2$ 有界，于是f(x), f'(x)都有界，否则由反证法知 F(x) 不能有界而矛盾。

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hylpy

2楼2017-06-18 15:05:51

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hylpy

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引用回帖:

2楼: Originally posted by alober at 2017-06-18 15:05:51
第一个收敛是显然的，只要用比值判别法就能得到，收敛到的函数是(1-x)^2Li_{-\frac{1}{2}}(x)，也是连续的。

第二个只要让F(x) = f^2(x)+\frac{1}{2}(f'(x))^2，则F'(x) = 2f(x) \cdot f'(x)+f'(x) \cdot f''(x) ...

麻烦alober,第一题的和函数表达式?又是怎么求的呢?

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凡事，一笑而过。。。。。。

3楼2017-06-19 10:49:33

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引用回帖:

3楼: Originally posted by hylpy at 2017-06-19 10:49:33
麻烦alober,第一题的和函数表达式?又是怎么求的呢?...

$S = (1-x)^2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k^{-\frac{1}{2}}} =: (1-x)^2Li_{-\frac{1}{2}}(x)$

最后的 =: 表示右边由左边定义。Li_s(x) 函数就是多重对数函数，还有一些特殊值可以参考，例如s=1,2,3,x=0.5时的值。

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4楼2017-06-19 12:20:25

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4楼: Originally posted by alober at 2017-06-19 12:20:25
S = (1-x)^2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k^{-\frac{1}{2}}} =: (1-x)^2Li_{-\frac{1}{2}}(x)

最后的 =: 表示右边由左边定义。Li_s(x) 函数就是多重对数函数，还有一些特殊值可以参考，例如s=1,2,3,x=0.5时的 ...

谢谢，嗯嗯