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snowwhite1

木虫 (小有名气)

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[求助] 整数的可除性已有1人参与

设n为正整数，证明n=n除它本身的所有因数之积，充要条件是n是一素数的立方或为两个不同素数的积。

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奋斗

1楼 2017-05-07 11:58:46

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fungarwai

新虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
snowwhite1: 金币+20, ★★★★★最佳答案 2017-05-07 22:40:52

$n=p^3\Rightarrow p^6=p^{0+1+2+3}$
$n=pq\Rightarrow p^2 q^2=p^{0+0+1+1} q^{0+1+0+1}$

$n=\prod p_i^{k_i}$
$\prod p_i^{2k_i}=n^2=\prod p_i^{\frac{k_i}{2}\prod(k_j+1)}$
$\prod(k_j+1)=4=2\times 2\Rightarrow \{k_i\}=\{3\},\{1,1\}$

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