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hylpy

专家顾问 (知名作家)

[交流] 函数考题

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0，1]$ 上有连续的导函数，且 $f(0)=0$ 。求证:

$\int_{0}^{1}\left | f(x) \right |^2dx\leq \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left ( 1-x^2 \right )\left | {f}'(x) \right |^2dx,$

并且当且仅当 $f(x)\equiv cx$ 时，等号成立，其中 $c$ 是常数。

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1楼 2017-04-24 10:25:36

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
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在线: 473.6小时
虫号: 3331731

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hylpy(金币+2): 谢谢参与
hylpy: 金币+10, 非常有启发，谢了 2017-04-24 20:13:21
Edstrayer: 金币+10 2017-04-26 06:57:07

$f(x) = \int_{a}^{x}f'(t)dt+f(a) = \int_{a}^{x}f'(t)dt \Rightarrow f^2(x) = (\int_{a}^{x}f'(t)dt)^2 \mathop{\le}^{Cauchy} \int_{a}^{x}1^2dt\int_{a}^{x}(f'(t))^2dt \Rightarrow \int_{a}^{b}f^2(x)dx \le \int_{a}^{b}((x-a)\int_{a}^{x}(f'(t))^2dt)dx = \int_{a}^{b}(\int_{a}^{x}(f'(t))^2dt) \cdot d(\frac{(x-a)^2}{2}) = [\int_{a}^{x}(f'(t))^2dt \cdot \frac{(x-a)^2}{2}]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\frac{(x-a)^2}{2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\int_{a}^{x}(f'(t))^2dt)dx = \frac{(b-a)^2}{2}\int_{a}^{b}(f'(t))^2dt-\frac{1}{2}\int_{a}^{b}(x-a)^2(f'(x))^2dx$
让a=0,b=1就行了。