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祉默

新虫 (初入文坛)

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1楼 2017-04-06 20:51:44

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
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红花: 25
帖子: 2681
在线: 473.6小时
虫号: 3331731
注册: 2014-07-20

★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 金币+5 2017-04-08 01:30:20

因为 $\frac{\sin\ell x}{\sin x} = \frac{e^{ix\ell}-e^{-ix\ell}}{e^{ix}-e^{-ix}} = e^{ix(1-\ell)} \cdot \frac{e^{2ix\ell-1}}{e^{2ix-1}} = e^{ix(1-\ell)} \cdot \sum_{k=0}^{\ell-1}e^{2kix}$ ，对任意正整数 $\ell, k$ 有
$\int_{0}^{2\pi}e^{ix(1-\ell)} \cdot e^{2kix}dx = \int_{0}^{2\pi}e^{ix(2k+1-\ell)}dx = \begin{cases}\frac{1-e^{2\pi i(2k-\ell)}}{2k+1-\ell}i = 0 & 2k+1-\ell \neq 0\\2\pi & 2k+1-\ell = 0\end{cases}$