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[交流]
由集合论推导出自然数集合N中存在无穷大自然数
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由皮亚诺公理可知，所有的自然数全都是有限的自然数，不存在无穷大自然数（证明略）。 然尔根据集合论中的相关理论，却可以证明自然数集合N中存在无穷大自然数，下面写出证明过程： 全体自然数的集合为N，N＝{0，1，2，3，4……n……}，从N的所有子集中挑选出来一些特定的子集，要求同时符合下面的两个条件：（1）：所有的子集中必须有0为元素；（2）：如果该子集中包含多个元素，则所有的元素能以自然数的顺序依次排列。例如：{0}，{0，1}，{0，1，2，3}都符合上述的两个条件，但{1，2，3，4}不符合条件，因为该集合中没有0；{0，1，2，5，7，8}也不符合条件，因为所有的元素没有按自然数的顺序依次排列。 根据上述的两个条件，可以挑选出N的所有符合条件的子集，按照从小到大的顺序进行排列，分别是： a0＝{0} a1＝{0，1} a2＝{0，1，2} a3＝{0，1，2，3} a4＝{0，1，2，3，4} a5＝{0，1，2，3，4，5} …… an＝{0，1，2，3，4，5……n} …… aN＝{0，1，2，3，4，5……n……} 因为N是N的子集，记为aN，aN也符合上述子集的定义。 我们称符合上面特征的集合为N的以0为首公差为1的等差数列子集。 令A为包含所有N的以0为首公差为1的有限等差数列子集的集合，即A＝{a0，a1，a2，a3，a4……an……}，A的元素全都是N的有限等差数列真子集，因为aN是一个无穷集，它是N的子集而不是N的真子集，所以aN不是A中的元素。 对于A中的所有元素，有a0⊂a1⊂a2⊂a3⊂……⊂an⊂……，即前一个元素是后一个元素的真子集，并且A中的所有元素全都是N的真子集。 因为A中的所有元素全都是N的真子集，也就是说：只有无限集N才包含所有的自然数，而A中的任何一个元素都是有限集，所以A中的任何一个元素都不包含所有的自然数。 由真子集的定义可知，一定存在一个自然数g，g属于N，但g不属于A中的任何一个元素。 下面证明g的存在性： （1）：因为A中的所有元素全都是N的真子集，所以N与A中任何一个元素的差都不是空集，即N－ak≠∅。否则，如果有N－ak＝∅，则有ak=N，说明ak不是N的真子集。 (2):如果有A⊂B，则g= A∪B－A，例如：A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4}，则g＝A∪B－A＝{1，2，3}∪{1，2，3，4}－{1，2，3}＝4，即4属于B而不属于A 并且，如果A⊂B，则g=A∪B－A必然不是空集，否则，如果g是空集，则必有A＝B，说明A不是B的真子集。 （3）：因为A中的所有元素全都是N的真子集，所以g=（a0∪a1∪a2∪a3∪……∪an……∪N）-a0－a1-a2-a3……－an……，设（a0∪a1∪a2∪a3∪……∪an……∪N）＝Y，则有Y＝N，由（1）可知，N与A中任何一个元素的差都不是空集，所以g不是空集。否则，如果Y与A中的某一个元素ak的差是空集（即g是ak中的元素），则根据（2），必有ak=N，说明ak不是N的真子集，这与A中的所有元素全都是N的真子集相矛盾。 由以上所述可知，因为g不是一个空集,所以g存在，g属于N而不属于A中的任何一个元素，也就是说，A中的任何一个元素中，都没有g. 因为A中的所有元素全都是有限集合，而g不属于任何一个有限集，只属于无限集N，所以g是一个无穷大自然数。 命题得证：在自然数集合N中存在无穷大自然数g,g大于任何一个有限的自然数。 |
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