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snowwhite1

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设a,b,c,d为整数，证明，若有整数m
能整除ac,ad+bc,bd,则m必能整除ad和bc

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奋斗

1楼 2017-01-21 19:12:21

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snowwhite1

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不要假定m是素数

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奋斗

2楼2017-01-21 19:13:45

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Edstrayer

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2楼: Originally posted by snowwhite1 at 2017-01-21 19:13:45
不要假定m是素数

使用算术基本定理和数学归纳法可以证明

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2017-01-22 02:40:31

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Edstrayer

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见柯召《数论讲义》上册第二版P25习题17

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2017-01-22 02:56:11

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fungarwai

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
snowwhite1: 金币+20, ★★★★★最佳答案 2017-01-26 10:25:36
Edstrayer: 金币+10 2017-01-27 04:26:22

$m|ac,bd,ad+bc$
$m=\prod p_i^{m_i},a=\prod p_i^{a_i},b=\prod p_i^{b_i},c=\prod p_i^{c_i},d=\prod p_i^{d_i}$

$\forall i,p_i^{m_i}|ac,bd$
$\Rightarrow \forall i,m_i\le a_i+c_i,b_i+d_i$
$\Rightarrow \forall i,2m_i\le a_i+b_i+c_i+d_i$

假设 $\exists k,s.t. m_k>a_k+d_k$
$b_k+c_k\ge 2m_k-(a_k+d_k)>m_k$
$p_k^{m_k}|ad+bc\Rightarrow p_k^{m_k}|ad$ 矛盾

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5楼2017-01-25 14:11:32

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