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hylpy

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[交流] 一道有趣的基础题

试证: $f(x)=\cos x+\sin\sqrt{2} x,(\forall x\in \mathbb{R})$ ,为非周期函数.

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2017-01-12 19:26:29

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匿名

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2楼2017-01-12 19:35:36

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hylpy

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2楼: Originally posted by asimony at 2017-01-12 19:35:36
2*pi 不是一个周期吗.

我把题写错了,已经更正

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凡事，一笑而过。。。。。。

3楼2017-01-12 20:58:26

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alober

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Edstrayer: 金币+5 2017-01-13 04:45:36
hylpy: 金币+10 2017-01-13 09:00:46

$\sin px+\cos qx$ 有周期 $T > 0$ ，则有 $\sin p(x+T)+\cos q(x+T)=\sin px+\cos qx$ ，于是 $\sin p(x+T)-\sin px = \cos qx-\cos q(x+T) \Rightarrow 2\cos(px+\frac{pT}{2})\sin\frac{pT}{2} = 2\sin\frac{qT}{2}\sin(qx+\frac{qT}{2})$ 。让 $x = -\frac{T}{2}$ 得 $2\sin\frac{pT}{2} = 0 \Rightarrow pT = 2k_1\pi$ ，让 $x = -\frac{T}{2}+\frac{\pi}{2p}$ 得 $0 = 2\sin\frac{qT}{2}\sin\frac{q\pi}{2p} \Rightarrow \sin\frac{qT}{2} = 0 or \sin\frac{q\pi}{2p} = 0 \Rightarrow qT = 2k_2\pi or \frac{q\pi}{2p} = k_3\pi$ ，其中 $k_1,k_2,k_3 \in \mathbb{Q}$ 。作除法易知 $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ ，显然此必要条件不能被f(x)满足因此非周期。此条件也是充分的。

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4楼2017-01-13 01:33:20

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