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一秒阳光21

新虫 (小有名气)

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[求助] 求助代数图论的三个小问题已有1人参与

1.设图G是使它的自同构群传递的作用在它的顶点上，且B是G自同构群下的非本原块，证明由B导出的G的子图是正则的。
2.设图G是非零图且不连通，如果图G的自同构传递的作用在它的顶点上，则G是非本原的。
3.Cayley图X(G,C)是连通图当且仅当C是G的生成子群。

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1楼 2017-01-01 09:04:56

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赵_山河

新虫 (初入文坛)

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【答案】应助回帖

当C是G的生成子群时，对任意 $c \in C, g \in G$ 都有 $gc \in G$ ，于是图中存在边g-gc，但C是生成子群，因此gc能取遍G中所有元素g'，所以G中任意顶点g-g'都有边，是连通的。

当图连通时，图中任意顶点g-g'都有边，由定义知g'取自G的生成集合C，假设C不是生成子群，则存在包含C中所有元素的G的子群S，S不等于C。于是至少有一元素s， $s \in S \subset G, s \not\in C$ ，但图是连通的，因此g-s有边，由定义s取自C，这与s不属于C矛盾，因此C=S，就是生成子群。