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zmylala

新虫 (小有名气)

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哪位大神能帮我看看，交流交流思路也是可以的

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1楼 2016-12-12 13:26:15

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ra2ghgzh

木虫 (正式写手)

学痴

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zmylala: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 才学会了奖励 2016-12-21 23:02:04

使用Dirac算符表示有：
$\left| {\psi \left( {t = 0} \right)} \right\rangle = \cos \beta \left| n \right\rangle + \sin \beta \left| m \right\rangle$
根据薛定谔方程可以得到t时刻的状态为：
$\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle = \cos \beta {e^{in\omega t}}\left| n \right\rangle + \sin \beta {e^{im\omega t}}\left| m \right\rangle$
那么t时刻的坐标期望为
$\left\langle {\psi \left( t \right)} \right|x\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle = {\cos ^2}\beta \left\langle n \right|x\left| n \right\rangle + {\sin ^2}\beta \left\langle m \right|x\left| m \right\rangle + \cos \beta \sin \beta \left[ {{e^{i\left( {m - n} \right)\omega t}} + {e^{i\left( {n - m} \right)\omega t}}} \right]\left\langle m \right|x\left| n \right\rangle$
由于
$x = \sqrt {\frac{\hbar }{{2M\omega }}} \left( {{a^\dag } + a} \right)$
这里把质量改写为M，为了与本征态m区分开来。所以有
$\left\langle m \right|x\left| m \right\rangle = \left\langle n \right|x\left| n \right\rangle = 0$
$\left\langle m \right|x\left| n \right\rangle = \sqrt {\frac{\hbar }{{2M\omega }}} \left\langle m \right|{a^\dag } + a\left| n \right\rangle = \sqrt {\frac{\hbar }{{2M\omega }}} \left( {\sqrt m {\delta _{m,n + 1}} + \sqrt n {\delta _{m,n - 1}}} \right)$
带入到第三个公式中，得到
$\left\langle {\psi \left( t \right)} \right|x\left| {\psi \left( t \right)} \right\rangle = \sqrt {\frac{\hbar }{{2M\omega }}} \left( {\sqrt m {\delta _{m,n + 1}} + \sqrt n {\delta _{m,n - 1}}} \right)\sin 2\beta \cos \left[ {\left( {m - n} \right)\omega t} \right]$

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