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tianya_126

银虫 (正式写手)

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[求助] 求助有个指数相关的积分问题已有1人参与

请问这个积分 $f(\xi)=\int_0^{\infty}e^{x^2+x\xi}dx$ 该如何计算啊，感觉不太好计算的样子

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1楼 2016-11-29 15:25:35

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alober

木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

楼主是不是打错了？如果指数里是正的x^2则积分不收敛。猜测可能是-x^2
$\int_{0}^{\infty}e^{-x^2+xt}dx=e^{\frac{t^2}{4}}\int_{0}^{\infty}e^{-(x-t/2)^2}dx=e^{\frac{t^2}{4}}\int_{\frac{t}{2}}^{\infty}e^{-x^2}dx=e^{\frac{t^2}{4}}(\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx-\int_{0}^{\frac{t}{2}}e^{-x^2}dx)=e^{\frac{t^2}{4}}(\frac{\sqrt{\pi}}{2}-\int_{0}^{\frac{t}{2}}e^{-x^2}dx) = \frac{2e^{\frac{t^2}{4}}}{\sqrt{\pi}}(1-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\frac{t}{2}}e^{-x^2}dx)$

后面这个定义成误差函数
$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\frac{t}{2}}e^{-x^2}dx$

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tianya_126

2楼2016-11-29 16:42:10

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tianya_126

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引用回帖:

2楼: Originally posted by alober at 2016-11-29 16:42:10
楼主是不是打错了？如果指数里是正的x^2则积分不收敛。猜测可能是-x^2
\int_{0}^{\infty}e^{-x^2+xt}dx=e^{\frac{t^2}{4}}\int_{0}^{\infty}e^{-(x-t/2)^2}dx=e^{\frac{t^2}{4}}\int_{\frac{t}{2}}^{\infty}e^{-x^ ...

非常感谢，我有一个类似的指数部分包含二次和一次的多项式积分问题，考虑了好久，就在如何转化到误差函数这儿没理清思路，特意请教。因为是着重表达平方项与一次项，所以符号方面有错误，还请见谅！

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3楼2016-11-29 20:18:04

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