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枫飛

新虫 (正式写手)

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1楼 2016-11-28 06:53:48

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

对第一个积分，将被积函数拆开，并将分母应用半角余弦公式。后一个的积分立即可求出；前一个积分，注意dx/[Cos(x/2)]^2是dtan(x/2),利用分步积分法即可求出积分。

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17楼2016-12-01 13:15:12

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xylslyx

银虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

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枫飛

2楼2016-11-28 07:37:06

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alober

木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

$I=\int\frac{x}{1+\cos x}dx+\int\frac{\sin x}{1+\cos x}dx=\int\frac{x}{2\cos^2\frac{x}{2}}dx-\int\frac{1}{1+\cos x}d(1+\cos x)=\frac{1}{2}\int x\sec^2\frac{x}{2}dx-\ln(1+\cos x)=\int x\cdot(\tan\frac{x}{2})'dx-\ln(1+\cos x)=x\tan\frac{x}{2}-2\int\tan\frac{x}{2}(x)'d\frac{x}{2}-\ln(1+\cos x)=x\tan\frac{x}{2}+2\ln\cos\frac{x}{2}-\ln(1+\cos x)=x\tan\frac{x}{2}+\ln(\cos\frac{x}{2})^2+\ln2-\ln(1+\cos x)-\ln2=x\tan\frac{x}{2}+\ln\frac{2(\cos\frac{x}{2})^2}{1+\cos x}-\ln2=x\tan\frac{x}{2}+\ln1-\ln2=x\tan\frac{x}{2}+C$

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3楼2016-11-28 09:06:34

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alober

木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

$I=\int e^{\sin x}(x\cos x-\frac{\sin x}{\cos^2x})dx=\int e^{\sin x}(x\cos x-1+1-\frac{\sin x}{\cos^2x})dx=\int e^{\sin x}(x\cos x-1)dx+\int e^{\sin x}(1-\frac{\sin x}{\cos 2x})dx=\int e^{\sin x}\cos x \cdot (x-\frac{1}{\cos x})dx+\int e^{\sin x}(1-\frac{\sin x}{\cos^2x})dx=\int(e^{\sin x})' \cdot (x-\frac{1}{\cos x})dx+\int e^{\sin x}(1-\frac{\sin x}{\cos^2x})dx=e^{\sin x}(x-\frac{1}{\cos x})-\int e^{\sin x}(x-\frac{1}{\cos x})'dx+\int e^{\sin x}(1-\frac{\sin x}{\cos^2x})dx=e^{\sin x}(x-\frac{1}{\cos x})-\int e^{\sin x}(1-\frac{\sin x}{\cos^2x})dx+\int e^{\sin x}(1-\frac{\sin x}{\cos^2x})dx=e^{\sin x}(x-\frac{1}{\cos x})$