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berthala

新虫 (初入文坛)

[交流] 不等式证明 已有3人参与

|x+y|^α≤|x|^α+|y|^α，其中α属于0到1.

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1楼 2016-09-16 19:41:29
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berthala

新虫 (初入文坛)
怎么证明？谢谢，我刚注册，金币不够，谢谢了各位。中秋快乐

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2楼2016-09-16 19:42:12
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juwan

木虫 (知名作家)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
因为| x + y |^α ≤ | |x| + |y| |^α  ( x,y 可以是任意赋范空间中的元素，||是范数)
因此只要证明(x+y)^α ≤ x^α+y^α 其中y>x>0 是实数
由Lagrange中值定理，(x+y)^α - x^α = α z^(α - 1) y < α y^α < y^α
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3楼2016-09-16 20:56:23
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juwan

木虫 (知名作家)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
3楼: Originally posted by juwan at 2016-09-16 20:56:23
因为| x + y |^α ≤ | |x| + |y| |^α  ( x,y 可以是任意赋范空间中的元素，||是范数)
因此只要证明(x+y)^α ≤ x^α+y^α 其中y>x>0 是实数
由Lagrange中值定理，(x+y)^α - x^α = α z^(α - 1) y < ...

对不起楼主，证明有误。

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4楼2016-09-17 12:51:16
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juwan

木虫 (知名作家)
★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+3 2017-01-15 00:32:07
改一下。
要证明(x+y)^α ≤ x^α+y^α 其中y>x>0 是实数。
即 (1+x/y)^α ≤ 1 + (x/y)^α，
即 f(t) = (1+t)^α - t^α ≤ 1.   0<t<1.
f'(t) = α (1+t)^(α -1) - α t^(α -1) <0
f(t) 单调递减
f(t) -->1 as t-->0
因此 f(t)≤1
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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

berthala
5楼2016-09-17 13:22:30
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berthala

新虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
5楼: Originally posted by juwan at 2016-09-17 13:22:30
改一下。
要证明(x+y)^α ≤ x^α+y^α 其中y>x>0 是实数。
即 (1+x/y)^α ≤ 1 + (x/y)^α，
即 f(t) = (1+t)^α - t^α ≤ 1.   0<t<1.
f'(t) = α (1+t)^(α -1) - α t^(α -1) <0
f(t) 单 ...

谢谢，是用凸函数也可以证是吧。

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6楼2016-09-18 09:56:06
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kanglegong

银虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
给你一个最简单的证明
（1）若x，y异号，不用说等式成立
（2）若x，y同号，（|x+y|^α）^(1/α)=|x+y|; 根据广义二项式定理有(|x|^α+|y|^α)^(1/α)≥|x+y| 又1/α≥1所以有|x+y|^α≤|x|^α+|y|^α。
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7楼2016-09-18 12:07:10
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weft

木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
6楼: Originally posted by berthala at 2016-09-18 09:56:06
谢谢，是用凸函数也可以证是吧。
...

从凸函数入手是正解.
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8楼2016-09-22 02:31:27
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