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pkusiyuan

银虫 (正式写手)

[资源] Topology, Geometry,and Gauge Fields Interactions

Contents
Chapter 1
Geometrical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Smooth Manifolds and Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Matrix Lie Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Principal Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Connections and Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Associated Bundles and Matter Fields. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Chapter 2
Physical Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1 General Framework for Classical Gauge Theories . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Electromagnetic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Spin Zero Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Spin One-Half Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5 SU(2)-Yang-Mills-Higgs Theory on R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6 Epilogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Chapter 3
Frame Bundles and Spacetimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.1 Partitions of Unity, Riemannian Metrics and Connections. . . . . 139
3.2 Continuous Versus Smooth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3 Frame Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.4 Minkowski Spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.5 Spacetime Manifolds and Spinor Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Chapter 4
Differential Forms and Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.1 Multilinear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.2 Vector-Valued Forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.3 Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.4 The deRham Complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.5 Tensorial Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.6 Integration on Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.7 Stokes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Chapter 5
de Rham Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.1 The de Rham Cohomology Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.2 Induced Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.3 Cochain Complexes and Their Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.4 The Mayer-Vietoris Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
xi
xii Contents
5.5 The Cohomology of Compact, Orientable Manifolds. . . . . . . . . . 290
5.6 The Brouwer Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
5.7 The Hopf Invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Chapter 6
Characteristic Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.2 Algebraic Preliminaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.3 The Chern-Weil Homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
6.4 Chern Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.5 Z 2 - ˇ Cech Cohomology for Smooth Manifolds. . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Seiberg-Witten Gauge Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
A.1 Donaldson Invariants and TQFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
A.2 Clifford Algebra and Spin c -Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
A.3 Seiberg-Witten Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
A.4 The Moduli Space and Invariant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
A.5 The Witten Conjecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
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