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新虫 (初入文坛)

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[求助] 高等数学、一元函数微分已有1人参与

如图，我只能证明存在ξ使得（1）式成立，但不能证明这个ξ亦使得（2）式成立！

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1楼 2016-09-14 10:32:32

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送红花一朵

引用回帖:

3楼: Originally posted by hylpy at 2016-09-15 01:02:14
证

1)\because f\left ( a \right )=f\left ( b \right )=0,\therefore \exists \eta \epsilon \left ,{f}'\left ( \eta  \right )=0. (Roll定理).
   在x=\eta 处泰勒展开,
            f\left ( x \rig ...

佳节愉快！

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5楼2016-09-15 10:27:33

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hylpy

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

最好不要发图片,这样看起来太累人

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凡事，一笑而过。。。。。。

2楼2016-09-14 22:21:18

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hylpy

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【答案】应助回帖

证

1) $\because f\left(a\right)=f\left(b\right)=0,\therefore\exists\eta\in\left[a,b\right]f'\left(\eta\right)=0.$ (Roll定理).
   在 $x=\eta$ 处泰勒展开,
            $f\left(x\right )=f\left(\eta\right)+f'\left(\eta\right)\left(x-\eta\right)+\frac{1}{2}f''\left(\varepsilon\right)\left(x-\eta\right)^2,\varepsilon\epsilon\in\left( x,\eta\right).$
$=f\left(\eta\right)+\frac{1}{2}f''\left(\varepsilon\right)\left(x-\eta \right)^2[Latex]<br /> 当[Latex]\eta\geq\frac{a+b}{2}$ 时,令 $x=b$ ,有 $0=f\left(\eta\right)+\frac{1}{2}f''\left(\varepsilon\right)\left(b-\eta\right)^2,$
$f\left(\eta\right)=-\frac{1}{2}f''\left(\varepsilon\right)\left(b-\eta\right)^2\leq\left|\frac{1}{2}f''\left(\varepsilon\right)\left(b-\frac{a+b}{2}\right)^2\right| =\frac{1}{8}f''\left(\varepsilon\right)\left|\left(b-a\right)^2\right|,$
   当 $\eta<\frac{a+b}{2}$ 时,令 $x=a$ ,有
$\left|f\left(\eta\right)\right|=\left|-\frac{1}{2}f''\left(\varepsilon\right)\left( \eta-a\right)^2\right|\leq\left|\frac{1}{2}f''\left(\varepsilon\right)\left(\frac{a+b}{2}-a\right)^2\right|=\frac{1}{8}f''\left(\varepsilon\right)\left|\left(b-a\right)^2\right|,$
而 $\eta$ 在[a,b]上是任意的,所以当 $f\left(\eta\right)=\max_{a\leq x\leq b}\left|f\left(x\right)\right|时,也成立.其中[Latex]\varepsilon\in\left(x,\eta\right).$

(2)    由(1)中的泰勒公式,得
   $\left|\left(x-\eta\right)f'\left(\eta\right)\right|=\left|f\left(x\right)-f\left (\eta\right)-\frac{1}{2}f''\left(\varepsilon\right)\left(x-\eta\right)^2\right|\leq\left |f\left(x\right)\right|+\left|f\left(\eta\right)\right|+\frac{1}{2}\left|f''\left( \varepsilon\right)\right|\left(x-\eta\right)^2\leq\frac{1}{2}\left|f''\left(\varepsilon \right)\right|\left(x-\eta\right)^2$
从而有: $\left|f'\left(\eta\right)\right|\leq\frac{1}{2}\left|f''\left(\varepsilon \right)\right|\left(x-\eta\right)\leq\frac{1}{2}\left|f''\left(\varepsilon\right)\right|\left(b-a\right).$
   同理,由 $\eta$ 的任意性,有
$\max_{a\leq x\leq b}\left|f'\left(x\right)\right|\leq\frac{1}{2}\left|f''\left( \varepsilon\right)\right|\left(b-a\right).$
   而其中 $\varepsilon\in\left(x,\eta\right).$