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pkusiyuan

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[资源] Quantum Field Theory, A Modern Perspective

Contents
1 Results in Relativistic Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Spin-zero particle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Dirac equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 The Construction of Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 The correspondence of particles and fields . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Spin-zero bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Lagrangian and Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Functional derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 The field operator for fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Canonical Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Lagrangian, phase space, and Poisson brackets . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Rules of quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Quantization of a free scalar field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Quantization of the Dirac field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Symmetries and conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 The energy-momentum tensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7 The electromagnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.8 Energy-momentum and general relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.9 Light-cone quantization of a scalar field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.10 Conformal invariance of Maxwell equations . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Commutators and Propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1 Scalar field propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Propagator for fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Grassman variables and fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Interactions and the S-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 A general formula for the S-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Wick’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Perturbative expansion of the S-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Decay rates and cross sections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5 Generalization to other fields. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
X Contents
5.6 Operator formula for the N-point functions . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 The Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1 Quantization and photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Interaction with charged particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Quantum electrodynamics (QED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7 Examples of Scattering Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.1 Photon-scalar charged particle scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 Electron scattering in an external Coulomb field . . . . . . . . . . . . 87
7.3 Slow neutron scattering from a medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.4 Compton scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.5 Decay of the π 0 meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.6
ˇ
Cerenkov radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.7 Decay of the ρ-meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8 Functional Integral Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.1 Functional integration for bosonic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2 Green’s functions as functional integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.3 Fermionic functional integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.4 The S-matrix functional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.5 Euclidean integral and QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.6 Nonlinear sigma models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.7 The connected Green’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.8 The quantum effective action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.9 The S-matrix in terms of Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.10 The loop expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9 Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.1 The general procedure of renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2 One-loop renormalization .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3 The renormalized effective potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.4 Power-counting rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.5 One-loop renormalization of QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.6 Renormalization to higher orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.7 Counterterms and renormalizability .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.8 RG equation for the scalar field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.9 Solution to the RG equation and critical behavior . . . . . . . . . . 173
10 Gauge Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.1 The gauge principle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.2 Parallel transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.3 Charges and gauge transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.4 Functional quantization of gauge theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.5 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Contents XI
10.6 BRST symmetry and physical states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.7 Ward-Takahashi identities for Q-symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.8 Renormalization of nonabelian theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.9 The fermionic action and QED again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.10 The propagator and the effective charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.1 Realizations of symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.2 Ward-Takahashi identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.3 Ward-Takahashi identities for electrodynamics . . . . . . . . . . . . . 223
11.4 Discrete symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
11.5 Low-energy theorem for Compton scattering . . . . . . . . . . . . . . . 232
12 Spontaneous symmetry breaking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.1 Continuous global symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.2 Orthogonality of different ground states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
12.3 Goldstone’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
12.4 Coset manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.5 Nonlinear sigma models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.6 The dynamics of Goldstone bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.7 Summary of results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
12.8 Spin waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
12.9 Chiral symmetry breaking in QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.10 The effective action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12.11 Effective Lagrangians, unitarity of the S-matrix . . . . . . . . . . . 263
12.12 Gauge symmetry and the Higgs mechanism . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.13 The standard model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
13 Anomalies I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
13.2 Computation of anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
13.3 Anomaly structure: why it cannot be removed. . . . . . . . . . . . . . 289
13.4 Anomalies in the standard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
13.5 The Lagrangian for π 0 decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
13.6 The axial U(1) problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14 Elements of differential geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.1 Manifolds, vector fields, and forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.2 Geometrical structures on manifolds and gravity. . . . . . . . . . . . 310
14.2.1 Riemannian structures and gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
14.2.2 Complex manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
14.3 Cohomology groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
14.4 Homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
14.5 Gauge fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
14.5.1 Electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
XII Contents
14.5.2 The Dirac monopole: A first look . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
14.5.3 Nonabelian gauge fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
14.6 Fiber bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
14.7 Applications of the idea of fiber bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
14.7.1 Scalar fields around a magnetic monopole . . . . . . . . . . . 333
14.7.2 Gribov ambiguity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
14.8 Characteristic classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
15 Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
15.1 The evolution kernel as a path integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
15.2 The Schrödinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
15.3 Generalization to fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
15.4 Interpretation of the path integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
15.5 Nontrivial fundamental group for C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
15.6 The case of H 2 (C) ?= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
16 Gauge theory: configuration space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
16.1 The configuration space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
16.2 The path integral in QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
16.3 Instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
16.4 Fermions and index theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
16.5 Baryon number violation in the standard model . . . . . . . . . . . . 373
17 Anomalies II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
17.1 Anomalies and the functional integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
17.2 Anomalies and the index theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
17.3 The mixed anomaly in the standard model . . . . . . . . . . . . . . . . 383
17.4 Effective action for flavor anomalies of QCD . . . . . . . . . . . . . . . 384
17.5 The global or nonperturbative anomaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
17.6 The Wess-Zumino-Witten (WZW) action . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
17.7 The Dirac determinant in two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
18 Finite temperature and density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
18.1 Density matrix and ensemble averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
18.2 Scalar field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
18.3 Fermions at finite temperature and density . . . . . . . . . . . . . . . . 404
18.4 A condition on thermal averages.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
18.5 Radiation from a heated source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
18.6 Screening of gauge fields: Abelian case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
18.7 Screening of gauge fields: Nonabelian case . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
18.8 Retarded and time-ordered functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
18.9 Physical significance of Im Π μν
R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
18.10 Nonequilibrium phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
18.11 The imaginary time formalism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
18.12 Symmetry restoration at high temperatures . . . . . . . . . . . . . . . 435
Contents XIII
18.13 Symmetry restoration in the standard model . . . . . . . . . . . . . . 439
19 Gauge theory: Nonperturbative questions . . . . . . . . . . . . . . . . 445
19.1 Confinement and dual superconductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
19.1.1 The general picture of confinement . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
19.1.2 The area law for the Wilson loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
19.1.3 Topological vortices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
19.1.4 The nonabelian dual superconductivity. . . . . . . . . . . . . . 454
19.2 ’t Hooft-Polyakov magnetic monopoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
19.3 The 1/N-expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
19.4 Mesons and baryons in the 1/N expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
19.4.1 Chiral symmetry breaking and mesons . . . . . . . . . . . . . . 466
19.4.2 Baryons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
19.4.3 Baryon number of the skyrmion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
19.4.4 Spin and flavor for skyrmions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
19.5 Lattice gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
19.5.1 The reason for a lattice formulation. . . . . . . . . . . . . . . . . 475
19.5.2 Plaquettes and the Wilson action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
19.5.3 The fermion doubling problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
20 Elements of Geometric Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
20.1 General structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
20.2 Classical dynamics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
20.3 Geometric quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
20.4 Topological features of quantization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
20.5 A brief summary of quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
20.6 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
20.6.1 Coherent states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
20.6.2 Quantizing the two-sphere .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
20.6.3 Compact Kähler spaces of the G/H-type . . . . . . . . . . . . 506
20.6.4 Charged particle in a monopole field . . . . . . . . . . . . . . . . 508
20.6.5 Anyons or particles of fractional spin. . . . . . . . . . . . . . . . 510
20.6.6 Field quantization, equal-time, and light-cone . . . . . . . . 513
20.6.7 The Chern-Simons theory in 2+1 dimensions . . . . . . . . 515
20.6.8 θ-vacua in a nonabelian gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . 522
20.6.9 Current algebra for the Wess-Zumino-Witten (WZW)
model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
Appendix:Relativistic Invariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
A-1 Poincar′ e algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
A-2 Unitary representations of the Poincar′ e algebra . . . . . . . . . . . . 537
A-3 Massive particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
A-4 Wave functions for spin-zero particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
A-5 Wave functions for spin- 1
2
particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
A-6 Spin-1 particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
XIV Contents
A-7 Massless particles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
A-8 Position operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
A-9 Isometries, anyons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
General References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

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2016-09-04 23:16:44, 4.04 M