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welcumed

新虫 (初入文坛)

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[求助] 初中几何题极值求助已有2人参与

在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝6，M为OA中点，N是OB上一点，ON＝5，P是弧AB上一动点，则PM十1/2PN的最小值为?

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1楼 2016-07-27 09:32:04

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yanzaili

金虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
welcumed: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2016-07-27 14:33:11

取ON中点N‘，连接OP，取其中点P’，连接P‘N’，P‘A，则可得PM=P'A，P’N‘=1/2 PN，因此所求最小值为N’A的长度6.5

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2楼2016-07-27 12:08:37

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hylpy

专家顾问 (知名作家)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Edstrayer: 金币+5 2016-07-27 15:43:02

可用解析几何方法，设已知坐标点坐标分别为A(0，6)、A(6，0)、O(0，0)、P(x，y).M(0，3)、N(5，0)
动点P的所求解析式为: $f(x,y)=\frac{PM+1}{2PN}=\frac{\sqrt{x^2+\left ( y-3 \right )^2}+1}{2\sqrt{(x-5)^2+y^2}}$
又因为P在圆 $x^2+y^2=6^2$ 上，代入上式，化简得:
$f(x,y)=\frac{\sqrt{45-6y}+1}{2\sqrt{61-10x}}$
欲使上式取最小值，则y=0,x=6.
$f(6,0)=\frac{3\sqrt{5}+1}{2}$