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GTM257,Deformation Theory,Robin Hartshorne
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Contents Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 First-Order Deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. The Hilbert Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Structures over the Dual Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. The Ti Functors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. The Infinitesimal Lifting Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5. Deformations of Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Higher-Order Deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6. Subschemes and Invertible Sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7. Vector Bundles and Coherent Sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 8. Cohen–Macaulay in Codimension Two . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 9. Complete Intersections and Gorenstein in Codimension Three . 73 10. Obstructions to Deformations of Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 11. Obstruction Theory for a Local Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 12. Dimensions of Families of Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 13. A Nonreduced Component of the Hilbert Scheme . . . . . . . . . . . . 91 3 Formal Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 14. Plane Curve Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 15. Functors of Artin Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 16. Schlessinger’s Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 17. Hilb and Pic are Pro-representable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 18. Miniversal and Universal Deformations of Schemes . . . . . . . . . . . 120 19. Versal Families of Sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 20. Comparison of Embedded and Abstract Deformations . . . . . . . . 131 21. Algebraization of Formal Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 22. Lifting from Characteristic p to Characteristic 0 . . . . . . . . . . . . . 144 vi Contents 4 Global Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 23. Introduction to Moduli Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 24. Some Representable Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 25. Curves of Genus Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 26. Moduli of Elliptic Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 27. Moduli of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 28. Moduli of Vector Bundles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 29. Smoothing Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 |
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