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tigou

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[交流] 可导出选择公理和广义弱连续统假设的备选公理

选择公理和广义弱连续统假设有一个共同的特征：把两者分别当成待证明的命题，则当命题中出现的集合都是有限集或可数集时，该命题对ZF成立。
命题1：若非空集 $X$ 满足 $\forall x\in X,x\ne\emptyset$ , 则 $\exists Y,\forall x\in X,|x\cap Y|=1$ 。 $X$ 为有限集时, 命题1成立。
命题2： $|A|<|B|\Rightarrow|P(A)|<|P(B)|$ 。当 $A,B$ 都是可数集时，命题2成立。

      只要注意到以上共性，就容易产生这样的联想，是否存在一个更强的公理能同时导出选择公理和广义弱连续统假设，并使更多的新命题成立？
      这里给出一个备选公理，姑且称之为标准扩张公理，供有兴趣的虫友参考或批判。
   为了严格表述标准扩张公理，先引入几个预备概念。 $V$ 表示全体集合组成的类， $V_0$ 表示全体有限集组成的类， $V_1$ 表示全体可数无限集组成的类。称类函数 $f:V\to V$ 为标准类函数，如果函数值的表达式是一个单一公式。例如，集合与其幂集之间的对应关系就构成一个标准类函数；通常意义的分段函数不是标准类函数。

      标准扩张公理：任给标准类函数 $f:V\to V$ ，如果命题
$P(x_1,x_2,\dots,x_n,f(x_1),f(x_2),\dots,f(x_n))$
当
$(1)~~\{x_i|i=1,2,\dots,n\}\subseteq V_1$
时成立，若在条件(1)的情况下无法判定真伪或无实例，且当
$(2)~~\{x_i|i=1,2,\dots,n\}\subseteq V_0$
时成立，则
$P(x_1,x_2,\dots,x_n,f(x_1),f(x_2),\dots,f(x_n))$
对任意无限集都成立。

[ Last edited by tigou on 2016-6-18 at 07:59 ]

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2016-06-17 12:31:20

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给定标准类函数
$f:V\to V,f(x)=\{y|z\in y\to z\in x\}$
和命题
$P(x_1,x_2,f(x_1),f(x_2)):|x_1|<|x_2|\Rightarrow |f(x_1)|}<|f(x_2)|.$
则广义弱连续统假设就是标准扩张公理的推论。

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0/0的意义是所有数的集合

2楼2016-06-17 12:46:25

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给定标准类函数
$f:V\to V,f(x)=\{y|\forall z\in x(|z\cap y|=1)\}$
和命题
$P(x,f(x)): (\forall z\in x(z\ne\emptyset))\Rightarrow f(x)\ne\emptyset.$

则选择公理也是标准扩张公理的推论。

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0/0的意义是所有数的集合

3楼2016-06-17 12:55:37

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给定标准类函数
$f_{\kappa}:V\to V,f_{\kappa}(x)=\{y:\forall z\in x(|z\cap y|=\kappa)\}$
和命题
$(\forall \lambda\ge\kappa>0\forall z\in x(|z|\ge\lambda))\Rightarrow f_{\kappa}(x)\ne\emptyset.$

这就是标准扩张公理可以导出的强选择公理（比选择公理更强的命题）。

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4楼2016-06-17 13:17:39

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为什么要在标准扩张公理中给出两个优先权不一致的条件？因为某些命题对条件（2）成立对条件（1）确却不成立；或者对条件（1）成立对条件（2）却不成立。我们认为，以条件（1）为基础的扩张更保险（当然这种主张的正确性目前仅处于信仰层面，没有更基础的逻辑保证，未来如果发现矛盾，则应当放弃这种主张）。

考虑如下例子。给定标准类函数
$f_{\kappa}:V\to V,f_{\kappa}(x)=\{y:y\subseteq x\wedge|y|=\kappa\}$
和命题
$|f_2(x)|>|x|.$

这个命题对于基数大于等于4的有限集都成立，但对可数无限集不成立。

一个相关的命题是
$(0<\kappa<|x|)\Rightarrow |f_{\kappa}(x)|=|x|.$
这个命题对有限集不成立，但对可数无限集成立。在承认标准扩张公理的前提下，这个命题对所有的无限集都成立。

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5楼2016-06-17 13:37:58

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补充一个条件，标准扩张公理中的类函数不能是常值函数。如果不增加这个条件，则标准扩张公理将存在反例，例如：

给定标准类函数
$f:V\to V,f(x)=\omega$
和命题
$|f(x)|\ge|x|.$
显然这个命题对所有可数集都成立，但对不可数集不成立。

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6楼2016-06-17 14:30:26

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标准扩张公理相当强悍，还可推出如下结论：连续统假设不成立，马丁公理不成立。

这个公理对ZF的独立性是显然的。因为选择公理等对ZF的独立性已被证明，如果标准扩张公理不独立，则选择公理等也不独立。故标准扩张公理对ZF是独立的。剩下的问题是证明标准扩张公理与ZF是相容的。如果相容性也得到证明，则公理集论的面貌将大变样。

欢迎批评和交流。

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7楼2016-06-24 10:13:46

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