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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 关于泛函分析，有限元（finite element method）计算的一个问题，简单也不简单。
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i小木虫

木虫 (正式写手)

[求助] 关于泛函分析，有限元（finite element method）计算的一个问题，简单也不简单。 已有1人参与

最近一直头疼一个小问题，由于一些数学方面没基础，所以压根没看懂是怎么个计算法， 所以请版里大神能指导一二。可以在这里面讨论。
具体是这样的，已知一个长方体，在底面固定不变的情况下，什么时候表面积最小，如何求解，并得到对应的函数。
这里有一篇文献，做出来了，大概说了下计算方法，但是露珠实在看不懂，求大神帮解读。
图1. 这一步还理解，做了个大概近似；
关于泛函分析，有限元（finite element method）计算的一个问题，简单也不简单。
图2. 第二步，需要泛函分析，这就不明白了，一来泛函分析没基础，二来，怎么突然冒出了delta U, g 和偏导omega?
关于泛函分析，有限元（finite element method）计算的一个问题，简单也不简单。-1
图3.第三步，越来越糊涂了，拉格朗日乘数法？不理解啊，是为了干个啥？
关于泛函分析，有限元（finite element method）计算的一个问题，简单也不简单。-2
图4. 最后，得到了希望的模拟结果图，没说通过什么软件，大家都认为是matlab。
关于泛函分析，有限元（finite element method）计算的一个问题，简单也不简单。-3

可能这个问题有些复杂和繁琐，1.理论计算过程如何理解，比如应用到正六角柱，即上下底面都是正六边形，固定底面也可以使用该方法吗？2.如何在软件中操作，比如MATLAB，总不能他里面有Δu，我直接也写个就行？

欢迎大家能参与讨论，如果问题解决露珠保证追加金币！！！

问的问题可能有些已知量没交代清楚，具体在下面这个文献里面。
参考文献：Liu, X., et al. (2015). Fabrication and surface profile simulation of sapphire microlens array. Selected Proceedings of the Photoelectronic Technology Committee Conferences held August-October 2014, International Society for Optics and Photonics.
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1楼 2016-06-05 11:46:31
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
从原泛函极小值问题导出微分方程的边值问题，是通过求泛函的变分导数得到的。参见图片上大学四年级课本的推导。精确的方程叫做极小曲面方程，作了线性近似就是Laplace方程。
关于泛函分析，有限元（finite element method）计算的一个问题，简单也不简单。-4


关于泛函分析，有限元（finite element method）计算的一个问题，简单也不简单。-5



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2楼2016-06-05 16:27:32
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
在V等于常数的约束条件下求极值，正如第三步那样，引入乘子去掉约束；原理参见任一本高等数学，其严格证明需参考专著。

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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

i小木虫
3楼2016-06-05 16:45:10
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
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3楼: Originally posted by gold2007 at 2016-06-05 16:45:10
在V等于常数的约束条件下求极值，正如第三步那样，引入乘子去掉约束；原理参见任一本高等数学，其严格证明需参考专著。

因为函数空间是无限维的，超出了高等数学教材范围。

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4楼2016-06-05 16:46:44
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
第二步系由受约束的二维泛函的变分法中的欧拉方程而推得，最后欧拉方程转化为了一个调和微分方程。求解该定解问题即可得到体积一定时使表面积最小化的曲面形状函数。
第三步的来由是受约束问题目标泛函的拉格朗日乘子法。这可再去复习一下高数求极值那一相关章节。
此处的g是何物，本人也不清楚。希望楼主更详细地提供题目详情。
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5楼2016-06-05 18:03:34
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i小木虫

木虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by gold2007 at 2016-06-05 16:45:10
在V等于常数的约束条件下求极值，正如第三步那样，引入乘子去掉约束；原理参见任一本高等数学，其严格证明需参考专著。

谢谢你，突然发现知道的太少，还不是很清楚如何能在Matlab上操作，我在下面在学习下。不知道为什么金币发不过去的，先送一束鲜花给你。
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6楼2016-06-06 09:43:56
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i小木虫

木虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by peterflyer at 2016-06-05 18:03:34
第二步系由受约束的二维泛函的变分法中的欧拉方程而推得，最后欧拉方程转化为了一个调和微分方程。求解该定解问题即可得到体积一定时使表面积最小化的曲面形状函数。
第三步的来由是受约束问题目标泛函的拉格朗日乘 ...

应该是一楼公式2.6中的边界条件，u▏偏导Ω=φ（x,y)
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7楼2016-06-06 09:46:25
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gold2007

捐助贵宾 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by i小木虫 at 2016-06-06 09:43:56
谢谢你，突然发现知道的太少，还不是很清楚如何能在Matlab上操作，我在下面在学习下。不知道为什么金币发不过去的，先送一束鲜花给你。...

不客气，相互学习，三人行必有我师。
我不在意金币。

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8楼2016-06-06 10:06:37
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