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i维数

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[求助] 求解一个含积分的极限

如图，先谢谢各位大神了！

极限.png

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1楼 2016-06-05 02:30:19

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hank612

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长文慎入, 晕倒自己爬起来

(1)对于 0<a<1, 都有 $\lim_{n\rightarrow \infty} n\sqrt{n}a^n =0$

知道
$\lim_{n\rightarrow \infty} n\sqrt{n}\int_{0}^1 t^n\sqrt{1-t}(1+t)^{-\frac{5}{2}}dt=2^{-\frac{5}{2}}\lim_{n\rightarrow \infty}n\sqrt{n}\int_{0}^1 t^n\sqrt{1-t}dt$ , 在假如后面那个极限存在的前提下。

(2)根据Beta函数与Gamma函数的关系，以及 $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\Gamma(n+a)}{\Gamma(n)n^a}=1$ 以及 $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ , 再加上 $\Gamma(t+1)=t\Gamma(t)$ ,
知道 $n\sqrt{n}\int_{0}^1 t^n\sqrt{1-t}dt=n\sqrt{n}B(n+1,\frac{3}{2})$
$=\frac{n^{\frac{3}{2}}\Gamma(n+1)\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(n+\frac{5}{2})}$
趋于 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

(3)作变量替换 $t=\frac{1-x}{1+x}$ , 得到
$n\sqrt{n}\int_{0}^1 (\frac{1-x}{1+x})^n\sqrt{x}dx=2n\sqrt{n}\int_{0}^1 t^n\sqrt{1-t}(1+t)^{-\frac{5}{2}}dt$

(4) @i维数 @Edstrayer 的极限就是 $2\cdot 2^{-\frac{5}{2}}\cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$

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We_must_know. We_will_know.

2楼2016-06-05 08:07:01

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i维数

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2016-06-05 08:07:01
长文慎入, 晕倒自己爬起来

(1)对于 0<a<1, 都有\lim_{n\rightarrow \infty} n\sqrt{n}a^n =0

知道
\lim_{n\rightarrow \infty} n\sqrt{n}\int_{0}^1 t^n\sqrt{1-t}(1+t)^{-\frac{5}{2}}dt=2^{-\frac{ ...

谢谢！其他还好，就是（1）最后那里极限相等是因为什么？

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3楼2016-06-05 11:46:56

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hank612

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3楼: Originally posted by i维数 at 2016-06-05 11:46:56
谢谢！其他还好，就是（1）最后那里极限相等是因为什么？...

这个，要严格证明相等的话，最好用 $\epsilon-\delta$ 语言，可我很不习惯这些硬分析的操作了。

大致来说，令 $g_n(t)=n\sqrt{n}t^n\sqrt{1-t}>0$ , f(t)>0在[0，1]连续有界。现在另 $\delta_k$ 单调上升趋于1，那么存在 $n_k$ 趋于无穷使得 $g_{n_k}(t)$ 充分小，那么我们有如下观察：

1. $\int_0^{\delta_k}g_{n_k}(t)f(t)dt$ 充分小。

2. $min_{x\in[\delta_k,1]}f(x)\leqslant\frac{\int_{\delta_k}^1g_{n_k}(t)f(t)dt}{\int_{\delta_k}^1g_{n_k}(t)dt}\leqslant max_{x\in [\dellta_k,1]}f(x)$

3. $\int_{0}^1 g_{n_k}(t)dt$ 和 $\int_{\delta}^1 g_{n_k}(t)dt$ 充分接近

这上面还大量隐性地利用了单调性，非负性，连续性等等性质，麻烦楼主用 $\epsilon-\delta$ 重新写一遍，这样大家也就放心了。我的推导过程经常就象筛子一样，漏洞百出

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We_must_know. We_will_know.

4楼2016-06-05 12:41:28

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Edstrayer: 金币+10, thank 2016-06-16 17:42:32

引用回帖:

4楼: Originally posted by hank612 at 2016-06-05 12:41:28
这个，要严格证明相等的话，最好用\epsilon-\delta语言，可我很不习惯这些硬分析的操作了。

大致来说，令 g_n(t)=n\sqrt{n}t^n\sqrt{1-t}>0, f(t)>0在连续有界。现在另\delta_k单调上升趋于1，那 ...

我来脑补一下没写出来的。。。你看看是否可行

积分极限严格证明.png

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5楼2016-06-05 22:58:35

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