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东方天遥

至尊木虫 (著名写手)

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[求助] 求解伪转动算符时间变化率

以自由标量场为例。拉氏量为 $\mathscr L=(1/2)(\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-m^2\phi^2)$ 。那么，由于洛伦兹不变性而诱导的Noether current为 $K_{\mu\nu\rho}=\frac{1}{2}(x_\nu T_{\mu\rho}-x_\rho T_{\mu\nu})$ ，其中， $T_{\mu\nu}$ 为能动量张量。

伪转动算符因此为 $Q_j=\int d^3xK_{0j0}$ 。请求 $i\frac{dQ_j}{dt}=[Q_j,H]$ 。当然， $H$ 就是哈密顿量了。

我算了算，没算出来，得到了一下的结果：

$[Q_j,H]=-\frac{1}{2}\int d^3 xd^3y\{t[T_{0j}(x),T_{00}(y)]+x_j[T_{00}(x),T_{00}(y)]\}$
$=\frac{i}{4}\int d^3x\Pi\partial_j\phi-\frac{it}{2}\int d^3(\Pi\partial_j\partial_0\phi+\phi\partial_j\partial_0\Pi)$

其中， $t=x_0$ , $\Pi=\partial_0\phi$ 就是动量密度了。

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天行健，君子以自强不息

1楼 2016-05-25 10:09:54

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