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东方天遥

至尊木虫 (著名写手)

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[求助] 自学约束哈密顿系统，求帮助

第一次自学约束哈密顿量系统，参考的是梁灿彬教授的微分几何入门与广义相对论下册第15章。该章后第三题有些复杂，我已经附上了。前俩小问简单，初级约束为

$\phi_1=p_1, \quad \phi_2=p_3-2q_1p_2$

哈密顿量为 $H=q_1p_2^2/2-q_1q_2q_3$

从而，矩阵 $\Phi_{mn}$ 是个2维反对称阵，且 $\Phi_{12}=2p_2$ ，所以，该阵在 $p_2\ne0$ 时，是个满秩矩阵，所以，拉格朗日乘子可以全部确定，分别为
$\lambda_1=q_1\frac{q_2-2q_1q_3}{2p_2},\quad \lambda_2=p_2/4-\frac{q_2q_3}{2p_2}$

（c）也很简单。（d）问较为复杂，不知道大家有没有读过这本书的15.3节，感觉有些多余。对这道题，我想最简单的解决方法是，先在哈氏解出运动方程，其中有 $\dot q_1=\lambda_1,\quad \dot q_2=\lambda_2$ 。而利用15.3.2小节，可以找到关于 $\lambda_1,\;\lambda_2$ 的方程，其中包括前面俩式子。

（ｅ）最复杂。目前没有太好的思路，尤其是第一个小问，我的思路是，先证明如果一个演化曲线有一点在 $\Gamma_{1+}$ 或者在 $\Gamma_{1-}$ ，那么，整个曲线都在里面。证明的思路就是从俩 $\lambda$ 满足的方程的 $p_2$ 都在分母上，所以， $p_2$ 自始自终不能为零。但我觉得这么做有问题的。不知道该如何合理的证明这个问题。

那么，如果证明了这问题，是不是在解剩下俩问时，因为已经约定只考虑 $p_2＝０$ 的情况，是不是还可以在加第三个初级约束？谢谢！

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天行健，君子以自强不息

1楼 2016-04-26 03:15:41

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