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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[交流] Euler函数的一个性质

题目：设 $\varphi(n)$ 是Euler函数， $\mu(n)$ 是 $M\ddot{o}bius$ 函数，则有：

$\frac{n}{\varphi(n)}=\sum\limits_{d|n}\frac{\mu^2(d)}{\varphi(d)}(n\in\mathbb{N}_{+})$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-04-22 04:11:49

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fungarwai

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Edstrayer: 金币+2 2016-04-28 06:23:24

$\displaystyle n=\prod_{k=1}^m p_k^{r_k}$

$\displaystyle \sum_{d|n} \frac{\mu^2(d)}{\varphi(d)}=\sum_{m_k\in\{0,1\}}\frac{1}{\prod_{k=1}^m (p_k-1)^{m_k}}=\prod_{k=1}^m (1+\frac{1}{p_k-1})=\frac{n}{\varphi(n)}$

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2楼2016-04-27 23:07:59

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