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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[交流] Euler函数的一个性质

题目：设 $\varphi(n)$ 是Euler函数， $\mu(n)$ 是 $M\ddot{o}bius$ 函数，则有：

$\frac{n}{\varphi(n)}=\sum\limits_{d|n}\frac{\mu^2(d)}{\varphi(d)}(n\in\mathbb{N}_{+})$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-04-22 04:11:49

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fungarwai

新虫 (小有名气)

应助: 10 (幼儿园)
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帖子: 62
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虫号: 4441184
注册: 2016-02-27
性别: GG
专业: 应用数学方法

★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+2 2016-04-28 06:23:24

$\displaystyle n=\prod_{k=1}^m p_k^{r_k}$

$\displaystyle \sum_{d|n} \frac{\mu^2(d)}{\varphi(d)}=\sum_{m_k\in\{0,1\}}\frac{1}{\prod_{k=1}^m (p_k-1)^{m_k}}=\prod_{k=1}^m (1+\frac{1}{p_k-1})=\frac{n}{\varphi(n)}$

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2楼2016-04-27 23:07:59

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