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i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 极限题求证明

如图，EulerGamma指欧拉常数。谢了！

极限.jpg

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1楼 2016-04-10 22:19:55

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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Edstrayer: 金币+5 2016-06-07 01:47:21

偶然发现了 $\gamma^2+\frac{\pi^2}{6}$ 的某个积分表达式，感觉不是巧合，于是有了不怎么严密的思路

1。变量替换后，考虑 $\int_0^1 t^{1/n}\ln^2(1-t^{1/n})dt$

2. 利用 Lagrange 中值定理，存在0<an<1使得 $1-t^{1/n}=-\frac{1}{n}\cdot t^{a_n}\cdot \ln{t}$ , 于是积分变成 $\int_0^1 t^{1/n}(a_n^2\ln^2{t}+\ln^2(n)+\ln^2|\ln(t)|-2a_n\ln(t)\ln(n)-2\ln|\ln(t)|\ln(n)+2a_n\ln(t)\ln|\ln(t)|)dt$

3. 注意到 $\int_{0}^1\ln|\ln(t)|dt=\gamma$

$\int_{0}^1 \ln^2|\ln(t)|dt=\gamma^2+\frac{\pi^2}{6}$ ,
似乎很接近你要的结果，只是分析过程很不严密。

Emuch032 EulerGamma constant.png

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We_must_know. We_will_know.

2楼2016-06-06 11:59:57

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Edstrayer: 金币+10, thank 2016-06-07 01:47:51

引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2016-06-06 11:59:57
偶然发现了 \gamma^2+\frac{\pi^2}{6}的某个积分表达式，感觉不是巧合，于是有了不怎么严密的思路

1。变量替换后，考虑 \int_0^1 t^{1/n}\ln^2(1-t^{1/n})dt

2. 利用 Lagrange 中值定理，存在0<an< ...

谢了哈！我会做了，还加强了一下，见贴图