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雪径踏青

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[求助] 求解矩阵论另一习题

λ是A的特征值，δ是A的奇异值。证明：
Σ（λ平方）≤tr（A(H)A）=tr（AAH）=Σ（δ平方）
等式成立的充要条件是A为正规矩阵。

非常感谢！

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1楼 2016-03-22 23:13:11

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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雪径踏青(Edstrayer代发): 金币+15 2016-05-21 04:23:04

$\lambda$ 很有可能是复数, 那么比较大小就毫无意义. 楼主能否确认题目无误?

另外, 你可以有一个类似结果. $\sum_{k=1}^n |\lambda_k(A)| \leq \sum_{k=1}^n \sigma_k(A)$

请看连接: http://math.stackexchange.com/qu ... and-singular-values

Emuch033.png

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We_must_know. We_will_know.

2楼2016-05-20 04:28:47

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hank612

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楼下的结果需要一些弯弯绕才能得到, 而楼主要证明的结论几乎是显然的, 难怪网上都找不到结果.

设A的元素为 $a_{ij}$ , 那么有 $\sum_{k=1}^n {\lambda_k}^2=\mathrm{Tr}(A^2)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}a_{ji}$ , 而
$\sum_{k=1}^n {\sigma_k}^2=\mathrm{Tr}(A^HA)=\sum_{i,j=1}|a_{ij}|^2$

利用 $2 a_{ij}a_{ji}\leq |a_{ij}|^2+|a_{ji}|^2$ 这个中学以来就熟知的不等式, 就得到你想要的不等式. 并且等号成立的条件也出来了.

不得不说, 你题目中关于迹(trace)的提示非常地到位.

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We_must_know. We_will_know.

3楼2016-07-01 02:29:17

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