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相约黎曼猜想（三）
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忙的没有时间上网，但还是抽出一点时间继续下去。 在证明这个猜想之前，至少应该大概了解一下这个猜想的来龙去脉，这个就引用一下今天就引用卢海昌的漫谈系列来大概看看是怎么回事。 以下为原文引用： 究竟什么是 Riemann ζ 函数呢？ Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数) ζ(s) = Σn n-s (Re(s) > 1) 在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为——如我们已经注明的——这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。 Riemann 找到了这一表达式的解析延拓 (当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为： 这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞——离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点 (simple pole) 外， 在整个复平面上处处解析。 这样的表达式是所谓的亚纯函数 (meromorphic function)——即除了在一个孤立点集 (set of isolated points) 上存在极点 (pole) 外， 在整个在复平面上处处解析的函数——的一个例子。 这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。 运用上面的积分表达式可以证明， Riemann ζ 函数满足以下代数关系式——也叫函数方程 (functional equation)： ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s) 从这个关系式中不难发现， Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零——因为 sin(πs/2) 为零[注三]。 复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外， Riemann ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。 我们所要讨论的 Riemann 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想， 在这里我们先把它的内容表述一下， 然后再叙述它的来笼去脉： Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。 在 Riemann 猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语， Riemann 猜想也可以表述为： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。 这就是 Riemann 猜想的内容， 它是 Riemann 在 1859 年提出的。 从其表述上看， Riemann 猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题， 但我们很快将会看到， 它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。（待续） |
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