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证明伴随矩阵相似
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| 设A*与B*为数域上的n阶方阵，分别为A与B的伴随矩阵，证明：若A与B相似，则A*与B*相似。 |
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2楼2012-07-24 09:59:18
tigertooth4
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
往事11: 金币+2, ★★★很有帮助, 不太明白，能否完整证明一下 2012-07-24 18:49:02
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往事11: 金币+2, ★★★很有帮助, 不太明白，能否完整证明一下 2012-07-24 18:49:02
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楼上的方法可解决A B可逆的情况。A B 不可逆的时候要对A B 进行摄动，或者用lambda矩阵的方法，变成可逆的情况。关键是证明 (AB)*=B* A* , 见下面链接里的文章「伴随矩阵的性质」 http://www2.cxtc.edu.cn/departme ... 008510104229511.pdf [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] |
3楼2012-07-24 14:38:08
tigertooth4
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往事11: 金币+2, ★★★★★最佳答案, 谢谢 2012-07-24 20:35:35
往事11: 金币+2, ★★★★★最佳答案, 谢谢 2012-07-24 20:35:35
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只需证明 (A B)* = B* A*。如果能证明这一点，如果 A = P⁻1 B P，则 A* = P* B* (P⁻1)* = P* B* (P*)⁻1 要证明： (A B)* = B* A*。 一. 首先，当 A, B 可逆的时候，A* = |A| A⁻1 ,利用 A⁻1 的性质可以证明 （AB)* = B* A*. 二. 若 A, B 不可逆的时候，考虑 Aε = ε I + A, Bε = ε I + B，显然 Aε 与 Bε 仍然相似。且当 0< ε <<1 时， Aε 和 Bε 一定是可逆矩阵.（ 因为 det (Aε) 就是 A 的特征多项式，ε = 0 已经是特征多项式的零点， 因此在 ε=0 附近很小的范围内，det(Aε) 一定非零，也就是说 Aε 可逆） 由 一. 知： (Aε Bε)* = Bε* Aε*. 但是由于伴随矩阵的每一项都是代数 余子式，也就是 ε 的连续函数，因此我们显然可以令 ε → 0，从而得到 结论。 |
4楼2012-07-24 19:44:01