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[求助] 求助一道积分问题已有1人参与

求助一道积分问题，题目如下

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1楼 2016-01-20 11:17:53

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001gqs

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
喜欢数的黑: 金币+15, ★★★★★最佳答案 2016-01-20 15:01:50

首先，左边的积分是收敛的，容易说明。
1. 变量替换：u---->|z/2|/t，得到
\int exp(-u^2-|z/2|^2/u^2)du=|z/2|*\int exp(-t^2-|z/2|^2/t^2)/t^2 dt
2. 由1得到：
2*\int exp(-u^2-|z/2|^2/u^2)du=\int exp(-u^2-|z/2|^2/u^2)（1+|z/2|/u^2）du
3. 注意到
（1+|z/2|/u^2）du=d(u-|z/2|/u)，此时u\in(0,+\infty)，而相应u-|z/2|/u\in（-\infty,+\infty）
4. 利用熟知结论\int exp(-x^2)dx=\sqrt(\pi)即可。

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强悍的老民科

2楼2016-01-20 14:15:17

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hank612

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★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
喜欢数的黑(Edstrayer代发): 金币+10 2016-01-21 00:11:36

http://math.stackexchange.com/qu ... -x2-1-x2-on-0-infty

完全一样的思路，不妨设z>0, 要证明 $I:=\int_{0}^{\infty}e^{-(u-\frac{z}{2u})^2}du=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

对I 作变量替换 $v=\frac{z}{2u}$ , 得 $I=\int_{0}^{\infty}e^{-(v-\frac{z}{2v})^2}\frac{z dv}{2v^2}$ , 即 $2I=\int_{0}^{\infty}(1+\frac{z}{2u^2})e^{-(u-\frac{z}{2u})^2}du=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-w^2}dw$

其中 $w=u-\frac{z}{2u}$ . 剩下的是大家都知道的Gauss 积分（标准正态分布的表达式), 结束。

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We_must_know. We_will_know.

3楼2016-01-20 14:36:15

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引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2016-01-20 14:36:15
http://math.stackexchange.com/questions/106965/how-to-evaluate-the-integral-of-exp-x2-1-x2-on-0-infty

完全一样的思路，不妨设z>0, 要证明I:=\int_{0}^{\infty}e^{-(u-\frac{z}{2u})^2}du=\frac{\sqrt ...

不是应助回帖，无法给分啊

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4楼2016-01-20 15:03:09

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引用回帖:

2楼: Originally posted by 001gqs at 2016-01-20 14:15:17
首先，左边的积分是收敛的，容易说明。
1. 变量替换：u---->|z/2|/t，得到
\int exp(-u^2-|z/2|^2/u^2)du=|z/2|*\int exp(-t^2-|z/2|^2/t^2)/t^2 dt
2. 由1得到：
2*\int exp(-u^2-|z/2|^2/u^2)du= ...

谢谢^_^

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5楼2016-01-20 15:03:58

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001gqs

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引用回帖:

5楼: Originally posted by 喜欢数的黑 at 2016-01-20 15:03:58
谢谢^_^
...

不客气

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强悍的老民科

6楼2016-01-23 21:26:17

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