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本帖产生 1 个数学EPI ，点击这里进行查看

i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 求解两道积分已有1人参与

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1楼 2016-01-15 01:07:19

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Edstrayer

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$\cos^8x+\sin^8x=\frac{1}{64}(35+28\cos 4x+\cos 8x)$

两个积分都是同一个类型的，都是

$f(a,b)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(a+b\cos 4x+\cos 8x)dx=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\ln(a+b\cos x+\cos 2x)dx$

这里 $a>b+1,b>0$

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4楼2016-02-04 02:49:07

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i维数

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 金币+5, 很实用的解题思路，赞一个 2016-02-05 15:36:44
Edstrayer: 数学EPI+1, thank 2016-06-04 07:40:29

引用回帖:

9楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-05 01:38:04
我也在寻找计算积分
g(a,b)=\int_0^{\pi}\ln(a+b\cos x+\cos 2x)dx=?
的计算公式。...

刚才做题时我受到一个启发，也许可以用二倍角公式把对数里的变成关于cosx的一元二次方程，再拆开为两个形如ln(a+cosx)的比较好算的积分

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10楼2016-02-05 12:11:24

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Edstrayer

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10楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-05 12:11:24
刚才做题时我受到一个启发，也许可以用二倍角公式把对数里的变成关于cosx的一元二次方程，再拆开为两个形如ln(a+cosx)的比较好算的积分...

这个思路是实用的、可行的，一般地，我们有：

$\int_0^{\pi}\ln(a+b\cos x)dx=\pi\ln(a+\sqrt{a^2-b^2})-\pi\ln 2$

这里a>b>0。
那么在适当的条件限制下，就可以得到下面积分的一般计算公式：

$\int_0^{\pi}\ln(a+b\cos x+\cos 2x)dx=?$

不过形式比较复杂，这里省略，请自行推导。

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11楼2016-02-05 15:10:12

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汐蓝溪谷

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

第一题用换元法 π/2-x=t
第二题也是

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不管走什么样的路，都要回头看看这一路的风景

2楼2016-01-15 16:41:58

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i维数

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2楼: Originally posted by 汐蓝溪谷 at 2016-01-15 16:41:58
第一题用换元法 π/2-x=t
第二题也是

两道题换了得到的是和原来一样的表达式啊

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3楼2016-01-15 17:25:02

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匿名

本帖仅楼主可见

5楼2016-02-04 06:26:17

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4楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-04 02:49:07
\cos^8x+\sin^8x=\frac{1}{64}(35+28\cos 4x+\cos 8x)
两个积分都是同一个类型的，都是
f(a,b)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(a+b\cos 4x+\cos 8x)dx=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\ln(a+b\cos x+\cos 2x)dx
这里a>b+ ...

我就是不知道第二个积分怎么算

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6楼2016-02-04 11:48:33

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微笑的一只

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有公式吧

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7楼2016-02-04 22:00:01

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7楼: Originally posted by 微笑的一只 at 2016-02-04 22:00:01
有公式吧

是什么公式呢

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8楼2016-02-04 23:34:40

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Edstrayer

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6楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-04 11:48:33
我就是不知道第二个积分怎么算...

我也在寻找计算积分

$g(a,b)=\int_0^{\pi}\ln(a+b\cos x+\cos 2x)dx=?$

的计算公式。

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9楼2016-02-05 01:38:04

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